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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Bsp Mannigfaltigkeit
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Bsp Mannigfaltigkeit: Kreisbogenstück
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:10 Mi 29.04.2009
Autor: Beppe

Ich weiß, dass ein Kreis im [mm]R^2[/mm] eine glatte Untermannigfaltigkeit ist. Gilt das auch für ein offenes Kreisbogenstück? Kann ich das so formulieren?

[mm]S=\left\{(x_1,x_2)| (x_1-s_1)^2+(x_2-s_2)^2 -1=0 \wedge a < x_1 < b \wedge c < x_2 < d\right\}[/mm]

[mm](s_1, s_2)[/mm] ist der Kreismittelpunkt und (a,c) (b,d) bzw. (a, d) (b, c) sind die jeweiligen Bogenenden (eindeutig gegeben). Ist es auch noch eine Mannigfaltigkeit, wenn ich die Ungleichheiten durch Kleinergleichs ersetze?

Danke schon mal für die Hilfe. Und:

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Bsp Mannigfaltigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:41 Do 30.04.2009
Autor: MatthiasKr

Hi,

> Ich weiß, dass ein Kreis im [mm]R^2[/mm] eine glatte
> Untermannigfaltigkeit ist. Gilt das auch für ein offenes
> Kreisbogenstück? Kann ich das so formulieren?
>  
> [mm]S=\left\{(x_1,x_2)| (x_1-s_1)^2+(x_2-s_2)^2 -1=0 \wedge a < x_1 < b \wedge c < x_2 < d\right\}[/mm]
>  
> [mm](s_1, s_2)[/mm] ist der Kreismittelpunkt und (a,c) (b,d) bzw.
> (a, d) (b, c) sind die jeweiligen Bogenenden (eindeutig
> gegeben). Ist es auch noch eine Mannigfaltigkeit, wenn ich
> die Ungleichheiten durch Kleinergleichs ersetze?
>  

so, wie du es geschrieben hast, geht es nicht. Nimm beispielsweise den oberen offenen halbkreis: du braeuchtest dann eine mischung aus '<' und [mm] '$\le$' [/mm] (fuer $d$).

Eleganter liesse sich das mit polarkoordinaten definieren, dann muss die winkelkoordinate [mm] $\phi$ [/mm] einfach ueber ein offenes intervall laufen.

gruss
matthias


> Danke schon mal für die Hilfe. Und:
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Bsp Mannigfaltigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:58 Do 30.04.2009
Autor: Beppe

Hallo Matthias,

Was genau geht nicht, dass es eine Mannigfaltigkeit ist, oder dass es mit [mm]\le[/mm] keine mehr ist? Denn den offenen oberen Halbkreis kann ich doch mit < definieren, dann läuft (bei einem Mittelpunkt in (0,0)) eben [mm]-1 < x_1 < 1[/mm] und [mm][mm] 0
Polarkoordinaten kann ich beim übergeordneten Problem leider nicht sinnvoll verwenden.

Danke,
Beppe

Bezug
                        
Bezug
Bsp Mannigfaltigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:05 Do 30.04.2009
Autor: MatthiasKr

Hi Beppe,

> Hallo Matthias,
>  
> Was genau geht nicht, dass es eine Mannigfaltigkeit ist,
> oder dass es mit [mm]\le[/mm] keine mehr ist? Denn den offenen
> oberen Halbkreis kann ich doch mit < definieren, dann läuft
> (bei einem Mittelpunkt in (0,0)) eben [mm]-1 < x_1 < 1[/mm] und
> [mm][mm]0

OK, jetzt verstehe ich wie du das meinst. Das sollte gehen, ja. Mannigfaltigkeiten im klassischen sinne sind denke ich immer offen. Andernfalls spricht man von mannigfaltigkeiten mit rand.

gruss
matthias


> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]Polarkoordinaten kann ich beim übergeordneten Problem leider nicht sinnvoll verwenden.[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]Danke,[/mm][/mm]
> [mm][mm] Beppe [/mm][/mm]


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