Bruch integrieren < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{
x}{1+x^{2}} dx} [/mm] |
Hallo zusammen,
wir sind in der Uni gerade beim Thema integrieren..
Nun habe ich diese Aufgabre vor mir liegen und ich weiß leider nicht wirklich weiter :(
Könnt ihr mir bitte einen Tip oder Stichworte geben, was ich hier machen muss?
Wie ich normal integriere weiß ich ... Hier macht der Bruch mir halt das Problem...
Lg,
Steffi1988
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Hallo Stefanie,
Stichwort: Substitution 
Setze [mm] $u:=1+x^2\Rightarrow u'=\frac{du}{dx}=2x\Rightarrow dx=\frac{du}{2x}$
[/mm]
Dann hast du [mm] $\int{\frac{x}{1+x^2} \ dx}=\int{\frac{x}{u} \frac{du}{2x}}=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{u} \ du}$
[/mm]
Da nun ne Stammfkt bilden, dann resubstituieren und die alten Grenzen einsetzen.
Alternativ - beruhend auf dieser Substitution - kannst du direkt das Integral ein wenig umformen:
[mm] $\int{\frac{x}{1+x^2} \ dx}=\frac{1}{2}\int{\frac{2x}{1+x^2} \ dx}$
[/mm]
Nun steht im Zähler genau die Ableitung des Nenners, das Integral ist also ein logarithmischen, eines der Bauart [mm] $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}$
[/mm]
Und das hat (bekanntlich) als Stammfkt. [mm] $F(x)=\ln\left|f(x)\right| [/mm] \ + \ C$
Gruß
schachuzipus
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Vielen Dank für Deine schnelle Antwort.
Jedoch bin ich ein wenig verwirrt :(
Habe die Funktion in einem Programm integrieren lassen..
Da kam dann raus:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln [1+ [mm] x^{2}]
[/mm]
Gruß,
steffi
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Hallo nochmal,
ja, da hat das Programm recht
Und wieso bist du verwirrt?
Hast du es mal mit der Substitution versucht oder mit der "direkten" Umformung und dem logarithmischen Integral?
Es sollte dasselbe herauskommen, schreib's dir einfach mal hin...
Ist nicht allzu viel...
LG
schachuzipus
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| Aufgabe 1 | | [mm] \bruch{1}{2}\integral {\bruch{1}{u} du} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] \integral {(\bruch{1 + 3x^{2} - 5x^{3}}{2x}+1})dx [/mm] |
Hallo.
Ich habe diesen Thread gefunden, weil ich eine ähnliche Frage habe. Und das an dem "einfachen" Beispiel erstmal üben wollte.
Wie mache ich nach der Substitution weiter?
Sorry ich kapiere es nicht :(
Wie kann ich da jetzt eine Stammfunktion bilden und das Rücksubstituieren?
Bei mir geht es um die 2. Aufgabe
Ich habe da gerade keinen Plan wie ich das machen soll.
(nicht lachen, bin kein Mathematiker ^^)
danke schonmal
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Hallo Testfahrer
Mach das nächste Mal bitte einen neuen Thread auf, wenn du keine Frage zu einer Aufgabe auf diesem Thread hast.
> [mm]\bruch{1}{2}\integral {\bruch{1}{u} du}[/mm]
> [mm]\integral {(\bruch{1 + 3x^{2} - 5x^{3}}{2x}+1})dx[/mm]
>
> Hallo.
>
> Ich habe diesen Thread gefunden, weil ich eine ähnliche
> Frage habe. Und das an dem "einfachen" Beispiel erstmal
> üben wollte.
>
> Wie mache ich nach der Substitution weiter?
> Sorry ich kapiere es nicht :(
> Wie kann ich da jetzt eine Stammfunktion bilden und das
> Rücksubstituieren?
>
> Bei mir geht es um die 2. Aufgabe
> Ich habe da gerade keinen Plan wie ich das machen soll.
> (nicht lachen, bin kein Mathematiker ^^)
>
Warum lachen? Nur weil man etwas nicht kann, lache ich nicht. Keine Sorge ;)
Die beiden Integrale, die du präsentierst, sind beide ohne Substitution zu lösen.
[mm] \bruch{1}{2}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{u}du}=\bruch{1}{2}*ln(u)
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1 + 3x^{2} - 5x^{3}}{2x}+1 dx}
[/mm]
Das kannst den Bruch trennen und die Integrale einzeln berechnen
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{2x}dx}+\integral_{}^{}{\bruch{3x}{2}dx}-\integral_{}^{}{\bruch{5x^2}{2}dx} +\integral_{}^{}{1 dx}
[/mm]
Wenn du Probleme mit den einzelnen Integralen hast, dann meld dich bzw. versuch es erstmal und poste deine Rechnungen
> danke schonmal
Bezüglich Substitution. Am Besten rechnest du mal ein paar Beispiele und wenn du Probleme hast, dann poste es hier und dann hlefen wir dir
Gruß
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Testfahrer |
Ja jetzt sehe ich es :D
Danke die erste hab ich und es fällt mir wie Schuppen von den Augen.
Jetzt die 2.
ok beim nächsten mal mache ich einen neuen thread auf
gruss
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| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{x}}{\wurzel{x}-1} dx} [/mm] |
Hallo.
Also ich war fleissig und habe rauf und runter Integrale gerechnet und eine Formelsammlung erstellt.
So langsam bekomme ich ein Gefühl dafür :)
Also die Lösung von meinem vorherigem Integral müsste
[mm] \bruch{1}{2}ln(x) [/mm] + [mm] \bruch{3}{4} x^{2}-\bruch{5}{6} x^{3}+x+c
[/mm]
lauten. (Der Vollständigkeit wegen.)
Jetzt habe ich aber eine Aufgabe die verstehe ich nicht ganz. (Siehe oben.)
laut wolfram alpha soll ich da substituieren t = [mm] \wurzel{x}
[/mm]
Aber ich kapiere es nicht. Das geht dann noch nicht auf.
Ich hoffe es ist ok, wenn ich jetzt hier nochmal poste.
gruss
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Hallo Testfahrer,
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{x}}{\wurzel{x}-1} dx}[/mm]
>
> Hallo.
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> Also ich war fleissig und habe rauf und runter Integrale
> gerechnet und eine Formelsammlung erstellt.
> So langsam bekomme ich ein Gefühl dafür :)
>
> Also die Lösung von meinem vorherigem Integral müsste
> [mm]\bruch{1}{2}ln(x)[/mm] + [mm]\bruch{3}{4} x^{2}-\bruch{5}{6} x^{3}+x+c[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> lauten. (Der Vollständigkeit wegen.)
>
> Jetzt habe ich aber eine Aufgabe die verstehe ich nicht
> ganz. (Siehe oben.)
>
> laut wolfram alpha soll ich da substituieren t =
> [mm]\wurzel{x}[/mm]
> Aber ich kapiere es nicht. Das geht dann noch nicht auf.
>
[mm]t=\wurzel{x} \Rightarrow x=t^{2} \Rightarrow \ dx = \ 2t \ dt[/mm]
Dann ergibt sich:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{x}}{\wurzel{x}-1} dx}=\integral_{}^{}{\bruch{t}{t-1} \ 2t \ dt}=2*\integral_{}^{}{\bruch{t^{2}}{t-1} \ \ dt[/mm]
Das letztere Integral ist dann zu berechnen.
> Ich hoffe es ist ok, wenn ich jetzt hier nochmal poste.
>
> gruss
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower
Vielen dank schonmal :)
zum Zwischenschritt [mm] 2\cdot{}\integral_{}^{}{\bruch{t^{2}}{t-1}}dt [/mm] habe ich noch eine Frage:
Ich habe jetzt mit beim nächsten Schritt helfen lassen müssen:
[mm] 2\cdot{}\integral_{}^{}{\bruch{t^{2}-1+1}{t-1}} [/mm] dt
Wie man darauf kommt sehe ich nicht. ;) Ist das Erfahrung ?
Weil ab da ist es wieder klar ich teile das Intergral auf:
[mm] 2\cdot{}\integral_{}^{}{\bruch{t^{2}-1}{t-1}} [/mm] + [mm] 2\cdot{}\integral_{}^{}{\bruch{1}{t-1}}dt
[/mm]
Im ersten Integral habe ich dann im Zähler ein Binom und kann kürzen.
Am ende komme ich auf:
[mm] t^{2} [/mm] + 2t + 2* ln(t-1)+c
Rücksubstitution mit t = [mm] \wurzel{x}
[/mm]
ergibt x + 2 [mm] \wurzel{x} [/mm] + 2* [mm] ln(\wurzel{x}+c)
[/mm]
Stimmt das?
Nochmals vielen Dank an alle.
Dank euch ist Mathe viel weniger nebulös :D
gruss
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Hallo Testfahrer,
> Hallo MathePower
> Vielen dank schonmal :)
> zum Zwischenschritt
> [mm]2\cdot{}\integral_{}^{}{\bruch{t^{2}}{t-1}}dt[/mm] habe ich noch
> eine Frage:
>
> Ich habe jetzt mit beim nächsten Schritt helfen lassen
> müssen:
> [mm]2\cdot{}\integral_{}^{}{\bruch{t^{2}-1+1}{t-1}}[/mm] dt
>
> Wie man darauf kommt sehe ich nicht. ;) Ist das Erfahrung
> ?
Das ist ein oft verwender Trick einen Term um eine künstliche Null (hier: "-1+1") zu erweitern.
> Weil ab da ist es wieder klar ich teile das Intergral
> auf:
>
> [mm]2\cdot{}\integral_{}^{}{\bruch{t^{2}-1}{t-1}}[/mm] +
> [mm]2\cdot{}\integral_{}^{}{\bruch{1}{t-1}}dt[/mm]
>
> Im ersten Integral habe ich dann im Zähler ein Binom und
> kann kürzen.
>
> Am ende komme ich auf:
> [mm]t^{2}[/mm] + 2t + 2* ln(t-1)+c
> Rücksubstitution mit t = [mm]\wurzel{x}[/mm]
>
> ergibt x + 2 [mm]\wurzel{x}[/mm] + 2* [mm]ln(\wurzel{x}+c)[/mm]
>
Es muss doch hier heisen:
[mm]x + 2 \wurzel{x} + 2* ln(\wurzel{x}\red{-1})+c[/mm]
> Stimmt das?
>
> Nochmals vielen Dank an alle.
> Dank euch ist Mathe viel weniger nebulös :D
> gruss
Gruss
MathePower
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