Brown'sche Bewegung < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] (X_n) [/mm] unabhängige, N(0,1)-verteilte Folge von Zufallsvariablen auf [mm] \Omega,
[/mm]
[mm] g_n(t) [/mm] sei die durch das Haar-System erzeugte Schauderbasis von C([0,1]).
Dann gilt:
[mm] (B_t)_{t\in[0,1]} [/mm] mit
[mm] B_t(\omega)=\summe_{n=0}^{\infty} X_n(\omega) g_n(t)
[/mm]
ist eine Brown'sche Bewegung |
Hi,
ich habe hier ein Verständnisproblem. Wenn ich z.B. die folgende Brown'sche Bewegung hätte, zu drei Zeitpunkten [mm] (t_0,t_1,t_2)=(0,\bruch{1}{2},1), [/mm] mit [mm] (B_t)=(\vektor{0 \\ 0},\vektor{\bruch{1}{3} \\ -\bruch{1}{6}}, \vektor{\bruch{1}{6} \\ -\bruch{1}{10}}), [/mm] kann ich sie nicht durch die obige Gleichung darstellen.
Denn für [mm] t\in \{0,\bruch{1}{2},1\} [/mm] gilt: [mm] g_n(t)=0.
[/mm]
Für die, die das grad nicht auf die Schnelle wissen. Das Haar-System ist eine Treppenfunktion auf dem Intervall [0,1], das in [mm] 2^{n+1} [/mm] gleich große Teilintervalle zerlegt wird und dabei abwechselnd die Werte [mm] 2^{\bruch{n}{2}} [/mm] und [mm] -2^{\bruch{n}{2}} [/mm] annimmt.
Für n=2 hat man also 8 Teilintervalle mit der Länge [mm] \bruch{1}{8}, [/mm] wobei die Haarfunktion im ersten Teilintervall den Wert 4, dann -4, dann wieder 4, etc. annimmt.
Die Schauderbasis [mm] g_n [/mm] ist dann einfach das Integral über die Haar-Funktion. Sie steigt also linear bis zum Ende des ersten Teilintervalls auf den Wert 4, fällt dann im zweiten wieder auf 0, steigt dann wieder auf 4, etc. Es ist also quasi eine "Zackenfunktion".
Daraus folgt allerdings, dass [mm] g_n [/mm] an den oben genannten Stellen t stets Null sein muss. Also kann es keine Zufallsvariable [mm] X_n [/mm] geben, mit der die oben genannte Brown'sche Bewegung erzeugt werden kann.
Wo ist mein Denkfehler? Und wie kann ich mir den Satz stattdessen klarmachen?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:06 Di 01.04.2008 | | Autor: | Zneques |
> $ [mm] (B_t)_{t\in[0,1]} [/mm] $ mit
> $ [mm] B_t(\omega)=\summe_{n=0}^{\infty} X_n(\omega) g_n(t) [/mm] $
> ist eine Brown'sche Bewegung
Das bedeutet, dass [mm] B_t [/mm] definiert durch
[mm] B_t(\omega) [/mm] := [mm] \summe_{n=0}^{\infty} X_n(\omega) g_n(t)
[/mm]
eine Brownsche Bewegung ist.
Also [mm] B_0=0 [/mm] , [mm] B_t-B_s\sim\mathcal{N}(0,t-s) [/mm] unabh. , [mm] B_t [/mm] stetig müsste dann das zeigen.
Ciao.
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