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| Aufgabe | | Sei I eine beliebige Indexmenge und seien [mm] (X_i, \tau_i), [/mm] i [mm] \in [/mm] I, topologische Räume. Zeige, dass die Mengen [mm] \produkt_{i \in I}^{}U_i [/mm] mit [mm] U_i \in \tau_i [/mm] für alle i [mm] \in [/mm] I eine Basis auf einer Topologie auf dem Produkt [mm] X:=\produkt_{i\in I}^{}X_i [/mm] bilden. Bilden diese Menge eine Topologie auf X? |
Wir haben die Basis einer Topologie beispielsweise definiert als:
Sei X ein topologischer Raum und B eine Menge offener Teilmengen von X mit der folgenden Eigenschaft: Für jede offene Teilmenge U [mm] \subseteq [/mm] X und für jeden Punkt x [mm] \in [/mm] U gibt es C [mm] \in [/mm] B mit [mm] x\in [/mm] C und C [mm] \subseteq [/mm] U. Dann ist B eine Basis, welche die Topologie auf X erzeugt.
Ich weiß nicht so genau, wie ich anfangen soll (Bin noch nicht so vertraut mit der Topologie), aber ich probiere es einfach mal ..:)
Sei U eine beliebige offene Teilmenge von X und x [mm] \in [/mm] U ebenso beliebig. Mit [mm] x=(x_0,x_1,x_2,.....). [/mm] Dann sind alle [mm] x_i [/mm] Elemente von offenen Mengen aus [mm] X_i, [/mm] also existiert ein System von offenen Mengen [mm] U_i [/mm] mit [mm] x\in U_1 \times U_2 \times U_3...
[/mm]
Geht das in die richtige Richtung?...bin völlig verunsichert und wäre für Hilfe dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:57 So 11.05.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei I eine beliebige Indexmenge und seien [mm](X_i, \tau_i),[/mm] i
> [mm]\in[/mm] I, topologische Räume. Zeige, dass die Mengen
> [mm]\produkt_{i \in I}^{}U_i[/mm] mit [mm]U_i \in \tau_i[/mm] für alle i [mm]\in[/mm]
> I eine Basis auf einer Topologie auf dem Produkt
> [mm]X:=\produkt_{i\in I}^{}X_i[/mm] bilden. Bilden diese Menge eine
> Topologie auf X?
>
> Wir haben die Basis einer Topologie beispielsweise
> definiert als:
>
> Sei X ein topologischer Raum und B eine Menge offener
> Teilmengen von X mit der folgenden Eigenschaft: Für jede
> offene Teilmenge U [mm]\subseteq[/mm] X und für jeden Punkt x [mm]\in[/mm] U
> gibt es C [mm]\in[/mm] B mit [mm]x\in[/mm] C und C [mm]\subseteq[/mm] U. Dann ist B
> eine Basis, welche die Topologie auf X erzeugt.
>
> Ich weiß nicht so genau, wie ich anfangen soll (Bin noch
> nicht so vertraut mit der Topologie), aber ich probiere es
> einfach mal ..:)
Such doch erstmal die Definition der Produkttopologie auf [mm] $\prod_{i\in I} X_i$ [/mm] heraus. Oft wird diese so definiert wie du es oben zeigen sollst, sprich ihr müsst das wohl anders gemacht haben. Ohne eure Definition zu kennen ist es also schwierig dir weiterzuhelfen 
LG Felix
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Hallo. Danke schonmal für die Antwort.
Wir haben die Produkttopologie wie folgt definiert:
Sei I eine Indexmenge und für jedes i [mm] \in [/mm] I sei ein topologischer Raum [mm] X_i [/mm] gegeben.
Sei [mm] \pi_j [/mm] : [mm] X=\produkt_{i\in I}^{}X_i \rightarrow X_j [/mm] die Projektion auf den j-ten Faktor. Dann ist [mm] \{\pi_i^{-1}: i\in I, U \subset X_i offen\} [/mm]
die Subbasis einer Topologie auf X. (Die Produkttopologie auf X)
Ich hoffe das hilft weiter ..:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 So 11.05.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo. Danke schonmal für die Antwort.
>
> Wir haben die Produkttopologie wie folgt definiert:
>
> Sei I eine Indexmenge und für jedes i [mm]\in[/mm] I sei ein
> topologischer Raum [mm]X_i[/mm] gegeben.
>
> Sei [mm]\pi_j[/mm] : [mm]X=\produkt_{i\in I}^{}X_i \rightarrow X_j[/mm] die
> Projektion auf den j-ten Faktor. Dann ist [mm]\{\pi_i^{-1}: i\in I, U \subset X_i offen\}[/mm]
Du meinst [mm] $\{ \pi_i^{-1}(U) : ... \}$, [/mm] oder?
> die Subbasis einer Topologie auf X. (Die Produkttopologie
> auf X)
>
> Ich hoffe das hilft weiter ..:)
Klar. Um dir einen Anstoss zu geben, nimm doch mal $I = [mm] \{ 1, \dots, n \}$ [/mm] an und berechne [mm] $\pi_1^{-1}(U_1) \cap \dots \cap \pi_n^{-1}(U_n)$. [/mm] Das kannst du sehr einfach hinschreiben.
Aber zurueck zur Aufgabenstellung: mir ist da aufgefallen, dass das was du geschrieben hast doch nicht die Definition der Produkttopologie ist. Oder genauer: sie ist es (bei nicht-trivialen Faktoren) genau dann, wenn die Indexmenge endlich ist. Wenn also $I$ unendlich ist, kannst du die Aufgabe mit deiner Definition hier (die voellig richtig ist) nicht loesen. Du musst die Aufgabenstellung wie folgt abaendern:
Sei I eine beliebige Indexmenge und seien $ [mm] (X_i, \tau_i), [/mm] $ i $ [mm] \in [/mm] $ I, topologische Räume. Zeige, dass die Mengen $ [mm] \produkt_{i \in I}^{}U_i [/mm] $ mit $ [mm] U_i \in \tau_i [/mm] $ für alle i $ [mm] \in [/mm] $ I und mit [mm] $U_i [/mm] = [mm] X_i$ [/mm] fuer alle bis auf endlich viele $i$ eine Basis auf einer Topologie auf dem Produkt $ [mm] X:=\produkt_{i\in I}^{}X_i [/mm] $ bilden. Bilden diese Menge eine Topologie auf X?
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:16 Mo 12.05.2014 | | Autor: | fred97 |
ich nehme die Aufgabenstellung mal wörtlich und setze
[mm] \mathcal{B}:=\{ \produkt_{i \in I}^{}U_i : U_i \in \tau_i \quad \forall i \in I\}.
[/mm]
Zeigen sollst Du:
1. [mm] \bigcup_{B \in \mathcal{B}}^{}B=X
[/mm]
und
2. sind [mm] B_1,B_2 \in \mathcal{B}, [/mm] so ex. [mm] \mathcal{B}_0 \subseteq \mathcal{B} [/mm] mit
[mm] $B_1 \cap B_2= \bigcup_{B \in \mathcal{B}_0}^{}B
[/mm]
Dann sollst Du die Frage beantworten: ist [mm] \mathcal{B} [/mm] eine Topologie auf X ?
Von Produktopologie ist nicht die Rede !
P.S. Du hast als Titel "Boxtopologie" gewählt , warum ?
Es ist so: die von [mm] \mathcal{B} [/mm] erzeugte Topologie heisst "Boxtopologie" und stimmt i.a. nicht mit der Produkttopologie überein.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Di 13.05.2014 | | Autor: | felixf |
Moin Fred,
> ich nehme die Aufgabenstellung mal wörtlich und setze
Danke
> Von Produktopologie ist nicht die Rede !
Da hab ich mich wohl ziemlich verlesen... Peinlich.
Gut dass du dir das angeschaut hast!
LG Felix
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