Borelsche Sigma Algebra < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:23 Di 04.01.2011 | | Autor: | sinalco |
| Aufgabe | In meinem Aufschrieb wird folgendes erwähnt:
Sei P ein allgemeines Wahrscheinlichkeitsmaß auf [mm] (\IR^{d}, B(\IR^{d})). [/mm] |
Ich versuche mir gerade für d=2 einige Elemente aus der Borelschen Sigma Algebra aufzuschreiben. Komme dabei aber leider nicht weiter.
Zunächst hab ich mir überlegt, wie das ganze denn für d=1 wäre.
Stichprobenraum omega = [mm] \IR
[/mm]
[mm] B(\IR) [/mm] = die Menge aller offen und abgeschlossenen Intervalle in [mm] \IR
[/mm]
für den Fall d=2:
Stichprobenraum omega [mm] =\IR^2
[/mm]
[mm] B(\IR^2):=\{[a,b]\times[c,d]: a,b,c,d \in \IR\}
[/mm]
Gebt mir mal bitte ein Feedback ob das so stimmt oder was falsch ist und ein paar Hinweise was richtig ist, wäre auch sehr nett.
Vielen Dank im Voraus
sinalco
PS:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Huhu,
> In meinem Aufschrieb wird folgendes erwähnt:
>
> Sei P ein allgemeines Wahrscheinlichkeitsmaß auf [mm](\IR^{d}, B(\IR^{d})).[/mm]
>
> Ich versuche mir gerade für d=2 einige Elemente aus der
> Borelschen Sigma Algebra aufzuschreiben. Komme dabei aber
> leider nicht weiter.
"Einige Elemente".... was stellst du dir darunter vor?
Eine endliche Anzahl bekommst du bestimmt hin 
> Zunächst hab ich mir überlegt, wie das ganze denn für
> d=1 wäre.
>
> Stichprobenraum omega = [mm]\IR[/mm]
> [mm]B(\IR)[/mm] = die Menge aller offen und abgeschlossenen
> Intervalle in [mm]\IR[/mm]
Oh oh, da hast du ein fundamentales Verständnisproblem!
[mm] $B(\IR)$ [/mm] ist viel mehr als nur die Menge aller offenen und abgeschlossenen Mengen.
Es ist die von diesen Intervallen erzeugte [mm] $\sigma$-Algebra!
[/mm]
Da steckt viel viel viel viel mehr drin (vermutlich mehr, als du dir vorstellen kannst).
Man kann aber auch andere Intervalltypen zur Erzeugung nehmen, z.B. die halboffenen Intervalle.
> für den Fall d=2:
>
> Stichprobenraum omega [mm]=\IR^2[/mm]
> [mm]B(\IR^2):=\{[a,b]\times[c,d]: a,b,c,d \in \IR\}[/mm]
Auch hier. [mm] $B(\IR^2)$ [/mm] ist viel viel mehr.
Sie wird zwar von den Quadern im [mm] \IR^2 [/mm] erzeugt, aber enthalten sind in der [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] einiges mehr.
Übrigens haben die Borel-Mengen eine schöne Eigenschaft, es gilt nämlich
[mm] $B(\IR^2) [/mm] = [mm] B(\IR) \times B(\IR)$
[/mm]
d.h. es ist egal, ob du dir einen [mm] \IR^n [/mm] nimmst und dort die Borelmengen suchst oder dir die Borelmengen des eindimensionalen Falls betrachtest und sie dann (n-1)-mal kreuzt.
Grüße,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 Mi 05.01.2011 | | Autor: | sinalco |
Also im Fall d=1 wäre dann
omega= [mm] \IR
[/mm]
Dann ist die Borelsche Sigma Algebra [mm] B(\IR) [/mm] die Sigma Algebra die von der Menge der offenen, halboffenen oder abgeschlossenen (je nach Definition) Intervallen in [mm] \IR [/mm] erzeugt wird.
Habe jetzt nochmal die Definition nachgelesen - da steht:
[mm] B(\IR) [/mm] sei die kleinste Sigma Algebra die alle offenen (abeschlossenen oder halboffenen) Teilmengen des Stichprobenraums (bei mir [mm] \IR) [/mm] enthalten.
1. Frage:
Warum macht es keinen Unterschied ob ich die Definition über offene, abgeschlossenen oder halboffene Teilmengen formuliere??? (oder macht es doch einen Unterschied, den ich übersehen habe)
2. Frage:
Mein Verständnis über eine Sigmaalgebra und das was in der Definition steht unterscheidet sich meiner Meinung nach nur noch um das Wort kleinste -
Wie kann man das gewährleisten, dass es sich um die kleinste Sigmaalgebra handelt? Wäre das z.B. durch disjunkte Intervalle möglich?
Ich weiß bisher nur, dass die kleinste Sigma Algebra [{ }, [mm] \IR] [/mm] ist
Vielen Dank für die bisherige Antwort
|
|
|
| |
|
Huhu,
> Dann ist die Borelsche Sigma Algebra [mm]B(\IR)[/mm] die Sigma
> Algebra die von der Menge der offenen, halboffenen oder
> abgeschlossenen (je nach Definition) Intervallen in [mm]\IR[/mm]
> erzeugt wird.
Ja, und man kann sie noch anders erzeugen, aber dazu später
> Habe jetzt nochmal die Definition nachgelesen - da steht:
> [mm]B(\IR)[/mm] sei die kleinste Sigma Algebra die alle offenen
> (abeschlossenen oder halboffenen) Teilmengen des
> Stichprobenraums (bei mir [mm]\IR)[/mm] enthalten.
> 1. Frage:
> Warum macht es keinen Unterschied ob ich die Definition
> über offene, abgeschlossenen oder halboffene Teilmengen
> formuliere??? (oder macht es doch einen Unterschied, den
> ich übersehen habe)
Eins vorweg: Wir reden hier nicht über beliebige Teilmengen, sondern über Intervalle. Das ist nochmal ein Unterschied!
Die Erzeugermenge beinhaltet also nur spezielle offene Mengen.
Zumindest auf [mm] \IR [/mm] kann man das so machen.
Dass es keinen Unterschied macht, d.h. die erzeugte [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] immer gleich ist, kannst du dir ja fix selbst überlegen, indem du zeigst, dass jeweils die Erzeuger in [mm] $B(\IR)$ [/mm] drinliegen.
Die Gleichheit folgt dann aus der Minimalitätsbedingung.
D.h. zeige doch mal selbst, dass
[mm] $\sigma\left((a,b)\right) [/mm] = [mm] \sigma\left([a,b]\right) [/mm] = [mm] \sigma\left([a,b)\right) [/mm] = [mm] \sigma\left((a,b]\right) [/mm] = [mm] \sigma\left((a,\infty)\right) [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
Wenn du einmal das Prinzip verstanden hast, ist es eigentlich recht eingänglich.
> 2. Frage:
> Mein Verständnis über eine Sigmaalgebra und das was in
> der Definition steht unterscheidet sich meiner Meinung nach
> nur noch um das Wort kleinste -
> Wie kann man das gewährleisten, dass es sich um die
> kleinste Sigmaalgebra handelt? Wäre das z.B. durch
> disjunkte Intervalle möglich?
Nein.
Das spielt keine Rolle.
Das kommt einfach aus der Definition des [mm] $\sigma$-Operators.
[/mm]
Analog könnte man die Borel-Algebra als Schnitt über alle [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] definieren, die die offenen Mengen enthalten.
Das ist dann offensichtlich die kleinste dieser [mm] $\sigma$-Algebren.
[/mm]
Die Eigenschaft "kleinste" sagt eben nur aus:
Sei [mm] \mathcal{A} [/mm] eine weitere $sigma$-Algebra, die alle offenen Mengen enthält, so gilt $B [mm] \subset \mathcal{A}$.
[/mm]
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Mi 05.01.2011 | | Autor: | sinalco |
Dass es keinen Unterschied macht, d.h. die erzeugte $ [mm] \sigma [/mm] $-Algebra immer gleich ist, kannst du dir ja fix selbst überlegen, indem du zeigst, dass jeweils die Erzeuger in $ [mm] B(\IR) [/mm] $ drinliegen.
Die Gleichheit folgt dann aus der Minimalitätsbedingung.
D.h. zeige doch mal selbst, dass
$ [mm] \sigma\left((a,b)\right) [/mm] = [mm] \sigma\left([a,b]\right) [/mm] = [mm] \sigma\left([a,b)\right) [/mm] = [mm] \sigma\left((a,b]\right) [/mm] = [mm] \sigma\left((a,\infty)\right) [/mm] = [mm] \ldots [/mm] $
Also die Minimalitätsbedingung sagt mir nichts, was meinst du damit?
$ [mm] \sigma\left((a,b)\right) [/mm] $ = [mm] \{\{ \}, (a,b), \IR / (a,b), \IR\}
[/mm]
$ [mm] \sigma\left([a,b]\right) [/mm] $ = [mm] \{\{ \}, [a,b], \IR / [a,b], \IR\}
[/mm]
Habe das mal an dem abgeschlossenen Intervall und dem offenen Intervall ausprobiert. Komme aber jetzt nicht darauf, warum das das gleiche sein soll?! Folgt das aus der Minimalitätseigenschaft???
|
|
|
| |
|
Huhu,
> Also die Minimalitätsbedingung sagt mir nichts, was meinst
> du damit?
naja, die kleinste [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] heisst, sie ist minimal.
Das meinte ich mit Minimalitätsbedingung.
> [mm]\sigma\left((a,b)\right)[/mm] = [mm]\{\{ \}, (a,b), \IR / (a,b), \IR\}[/mm]
>
> [mm]\sigma\left([a,b]\right)[/mm] = [mm]\{\{ \}, [a,b], \IR / [a,b], \IR\}[/mm]
Also: Ja, genrell hast du damit recht.
Gemeint war aber was anderes. [mm] $\sigma([a,b])$ [/mm] meinte nicht, die vom Intervall [a,b] erzeugte [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] sonst hättest du recht.
Es meinte vielmehr die von allen Intervallen der Form [a,b] erzeugte [mm] $\sigma$-Algebra.
[/mm]
Korrekt geschrieben meinte ich also:
[mm] $\sigma([a,b]) [/mm] = [mm] \sigma\left(\left\{[a,b]\;\big|\; a,b\in\IR\right\}\right)$
[/mm]
Und nun nochmal
MFG,
Gono.
> Habe das mal an dem abgeschlossenen Intervall und dem
> offenen Intervall ausprobiert. Komme aber jetzt nicht
> darauf, warum das das gleiche sein soll?! Folgt das aus der
> Minimalitätseigenschaft???
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Mi 05.01.2011 | | Autor: | sinalco |
ok, dann war das schonmal ein Missverständnis:
$ [mm] \sigma([a,b]) [/mm] = [mm] \sigma\left(\left\{[a,b]\;\big|\; a,b\in\IR\right\}\right) [/mm] $ = $ [mm] \{\{[a,b]:a,b \in \IR\},\{\IR / [a,b]:a,b \in \IR}, \{\}, \IR\} [/mm] $
$ [mm] \sigma([a,b]) [/mm] = [mm] \sigma\left(\left\{(a,b)\;\big|\; a,b\in\IR\right\}\right) [/mm] $ = $ [mm] \{\{(a,b):a,b \in \IR\},\{\IR / (a,b):a,b \in \IR}, \{\}, \IR\} [/mm] $
Also ich weiß immer noch nicht, wie ich das richtig Beweisen soll, aber dass diese beiden Mengen das gleiche erzeugen könnten, kann ich mir vorstellen.
|
|
|
| |
|
Huhu,
> [mm]\sigma([a,b]) = \sigma\left(\left\{[a,b]\;\big|\; a,b\in\IR\right\}\right)[/mm]
> = [mm]\{\{[a,b]:a,b \in \IR\},\{\IR / [a,b]:a,b \in \IR}, \{\}, \IR\}[/mm]
Nein! Das letzte Gleichheitszeichen ist falsch.
Wie schon in der ersten Antwort erwähnt, beinhaltet die [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] viel mehr als nur die Erzeugermenge und ihre Komplemente!
Was aber gilt, ist:
[mm]\{\{[a,b]:a,b \in \IR\},\{\IR / [a,b]:a,b \in \IR}, \{\}, \IR\} \subset \sigma([a,b])[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Aber KEINE Gleichheit!
Um dich zu erhellen: Es git $\sigma([a,b]) = B(\IR)$
> Also ich weiß immer noch nicht, wie ich das richtig
> Beweisen soll, aber dass diese beiden Mengen das gleiche
> erzeugen könnten, kann ich mir vorstellen.
Naja, zeige:
$\{[a,b]\;\big|\; a,b\in\IR\right\} \subset \sigma\left(\{(a,b)\;\big|\; a,b\in\IR\right\}\right)$
Nimm ein Element der linken Menge (also ein Intervall der Form [a,b]) und zeige, dass dieses in $\sigma\left(\{(a,b)\;\big|\; a,b\in\IR\right\}\right)$ liegt, indem du zeigst, dass es sich durch $\sigma$-Algebra-Operationen aus den Erzeugern (d.h. Intervallen der Form (a,b)) erzeugen lässt.
Daraus folgt sofort:
$\sigma\left(\{[a,b]\;\big|\; a,b\in\IR\right\}\right) \subset \sigma\left(\{(a,b)\;\big|\; a,b\in\IR\right\}\right)$
Warum?
Analog kannst du zeigen:
$\{(a,b)\;\big|\; a,b\in\IR\right\} \subset \sigma\left(\{[a,b]\;\big|\; a,b\in\IR\right\}\right)$
und daraus folgt:
$\sigma\left(\{(a,b)\;\big|\; a,b\in\IR\right\}\right) \subset \sigma\left(\{[a,b]\;\big|\; a,b\in\IR\right\}\right)$
Also folgt sofort?
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Mi 05.01.2011 | | Autor: | sinalco |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1. \Omega \in \mathcal A
2. A \in \mathcal A \Rightarrow A^{\mathsf c} \in \mathcal A\quad
3. A_1,A_2, \ldots \in \mathcal A \Rightarrow \bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n \in \mathcal A.
Das muss doch erfüllt sein bei einer Sigma Algebra ... inwiefern kann man also einen Widerspruch finden, dass hier keine Gleichheit gilt???
$ \sigma([a,b]) = \sigma\left(\left\{[a,b]\;\big|\; a,b\in\IR\right\}\right) $ = $ \{\{[a,b]:a,b \in \IR\},\{\IR / [a,b]:a,b \in \IR}, \{\}, \IR\} $
Du schriebst:
$ \{[a,b]\;\big|\; a,b\in\IR\right\} \subset \sigma\left(\{(a,b)\;\big|\; a,b\in\IR\right\}\right) $
Nimm ein Element der linken Menge (also ein Intervall der Form [a,b]) und zeige, dass dieses in $ \sigma\left(\{(a,b)\;\big|\; a,b\in\IR\right\}\right) $ liegt, indem du zeigst, dass es sich durch $ \sigma $-Algebra-Operationen aus den Erzeugern (d.h. Intervallen der Form (a,b)) erzeugen lässt.
Daraus folgt sofort:
$ \sigma\left(\{[a,b]\;\big|\; a,b\in\IR\right\}\right) \subset \sigma\left(\{(a,b)\;\big|\; a,b\in\IR\right\}\right) $
Warum?
Ich würde sagen, da es für ein beliebiges Intervall [a,b] gilt, muss es auch für die Menge aller Intervalle der Form [a,b] gelten?!
|
|
|
| |
|
Hiho,
> 1. [mm]\Omega \in \mathcal[/mm] A
> 2. A [mm]\in \mathcal[/mm] A [mm]\Rightarrow A^{\mathsf c} \in \mathcal A\quad[/mm]
>
> 3. [mm]A_1,A_2, \ldots \in \mathcal[/mm] A [mm]\Rightarrow \bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n \in \mathcal[/mm]
> A.
>
> Das muss doch erfüllt sein bei einer Sigma Algebra ...
Jop.
> inwiefern kann man also einen Widerspruch finden, dass hier
> keine Gleichheit gilt???
>
> [mm]\sigma([a,b]) = \sigma\left(\left\{[a,b]\;\big|\; a,b\in\IR\right\}\right)[/mm]
> = [mm]\{\{[a,b]:a,b \in \IR\},\{\IR / [a,b]:a,b \in \IR}, \{\}, \IR\}[/mm]
Bspw. ist
$[1,2] [mm] \cup [/mm] [3,4] [mm] \quad\in\quad \sigma\left(\left\{[a,b]\;\big|\; a,b\in\IR\right\}\right)$
[/mm]
Aber:
$[1,2] [mm] \cup [/mm] [3,4] [mm] \quad\not\in\quad \{\{[a,b]:a,b \in \IR\},\{\IR / [a,b]:a,b \in \IR}, \{\}, \IR\}$
[/mm]
> Daraus folgt sofort:
>
> [mm]\sigma\left(\{[a,b]\;\big|\; a,b\in\IR\right\}\right) \subset \sigma\left(\{(a,b)\;\big|\; a,b\in\IR\right\}\right)[/mm]
>
> Warum?
>
> Ich würde sagen, da es für ein beliebiges Intervall [a,b]
> gilt, muss es auch für die Menge aller Intervalle der Form
> [a,b] gelten?!
Nicht, warum man ein Intervall nehmen kann, sondern warum (allgemein) gilt:
$A [mm] \subset \sigma(B) [/mm] $
[mm] $\Rightarrow \sigma(A) \subset \sigma(B)$
[/mm]
MFG;
Gono.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Mi 05.01.2011 | | Autor: | sinalco |
> Hiho,
>
> > 1. [mm]\Omega \in \mathcal[/mm] A
> > 2. A [mm]\in \mathcal[/mm] A [mm]\Rightarrow A^{\mathsf c} \in \mathcal A\quad[/mm]
> >
> > 3. [mm]A_1,A_2, \ldots \in \mathcal[/mm] A [mm]\Rightarrow \bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n \in \mathcal[/mm]
> > A.
> >
> > Das muss doch erfüllt sein bei einer Sigma Algebra ...
>
> Jop.
>
> > inwiefern kann man also einen Widerspruch finden, dass hier
> > keine Gleichheit gilt???
> >
> > [mm]\sigma([a,b]) = \sigma\left(\left\{[a,b]\;\big|\; a,b\in\IR\right\}\right)[/mm]
> > = [mm]\{\{[a,b]:a,b \in \IR\},\{\IR / [a,b]:a,b \in \IR}, \{\}, \IR\}[/mm]
>
> Bspw. ist
>
> [mm][1,2] \cup [3,4] \quad\in\quad \sigma\left(\left\{[a,b]\;\big|\; a,b\in\IR\right\}\right)[/mm]
>
> Aber:
>
> [mm][1,2] \cup [3,4] \quad\not\in\quad \{\{[a,b]:a,b \in \IR\},\{\IR / [a,b]:a,b \in \IR}, \{\}, \IR\}[/mm]
>
Ich würde sagen [1,2] [mm] \cup [/mm] [3,4] = [1,4] und [1,4] [mm] \in \{\{[a,b]:a,b \in \IR\},\{\IR / [a,b]:a,b \in \IR}, \{\}, \IR\}
[/mm]
> > Daraus folgt sofort:
> >
> > [mm]\sigma\left(\{[a,b]\;\big|\; a,b\in\IR\right\}\right) \subset \sigma\left(\{(a,b)\;\big|\; a,b\in\IR\right\}\right)[/mm]
>
> >
> > Warum?
> >
> > Ich würde sagen, da es für ein beliebiges Intervall [a,b]
> > gilt, muss es auch für die Menge aller Intervalle der Form
> > [a,b] gelten?!
>
> Nicht, warum man ein Intervall nehmen kann, sondern warum
> (allgemein) gilt:
>
> [mm]A \subset \sigma(B)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \sigma(A) \subset \sigma(B)[/mm]
>
Habe nach langem Suche jetzt gefunden, dass A [mm] \subset [/mm] B aus der Monotonie folgt, dass [mm] \sigma(A) \subset \sigma(B) [/mm]
Warum A [mm] \subset \sigma(B) \Rightarrow \sigma(A) \subset \sigma(B) [/mm] gilt ... darfst du mir aber verraten?!
|
|
|
| |
|
Huhu,
> Ich würde sagen [1,2] [mm]\cup[/mm] [3,4] = [1,4] und [1,4] [mm]\in \{\{[a,b]:a,b \in \IR\},\{\IR / [a,b]:a,b \in \IR}, \{\}, \IR\}[/mm]
Autsch!
Es ist $2,5 [mm] \in [/mm] [1,4]$ aber $2,5 [mm] \not\in [/mm] [1,2] [mm] \cup [/mm] [3,4]$
$[1,2] [mm] \cup [/mm] [3,4]$ sind alle Zahlen von 1-2 und 3-4, die zwischen 2 und 3 fehlen jedoch!
> Habe nach langem Suche jetzt gefunden, dass A [mm]\subset[/mm] B aus
> der Monotonie folgt, dass [mm]\sigma(A) \subset \sigma(B)[/mm]
>
> Warum A [mm]\subset \sigma(B) \Rightarrow \sigma(A) \subset \sigma(B)[/mm]
> gilt ... darfst du mir aber verraten?!
Also: Wenn wir deinen Satz nun anwenden, steht da ja:
$A [mm] \subset \sigma(B) \Rightarrow \sigma(A) \subset \sigma\left(\sigma(B)\right)$
[/mm]
Das ist dein Satz einfach auf die erste Inklusion angewendet.
Nun gilt aber: [mm] $\sigma\left(\sigma(B)\right) [/mm] = [mm] \sigma(B)$, [/mm] denn:
[mm] \sigma(X) [/mm] ist ja die kleinste [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] die X enthält. Ist X nun bereits selbst eine Algebra, so gilt: [mm] $\sigma(X) [/mm] = X$.
X enthält sich schließlich selbst und ist eine [mm] $\sigma$-Algebra.
[/mm]
Jede [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] die X enthält aber ungleich X ist, muss logischerweise dann größer sein und ist somit nicht mehr die kleinste.
Hattet ihr bestimmt auch 
MFG;
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Mi 05.01.2011 | | Autor: | sinalco |
Ist richtig, dann passt das ja alles soweit. (mit dem Intervall, das hatte ich übersehen, pardon^^)
Vielen Dank für dein Bemühen
|
|
|
|
