Borelmenge < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Sa 04.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
1.) Die Menge aller positiven reellen Zahlen, die in ihrer Dezimaldarstellung an der n-ten Nachkommastelle bei festem [mm] n\in \IN [/mm] eine 2 stehen haben, ist eine Borelmenge .
2.) Die Menge aller positiven reellen Zahlen, die in ihrer Dezimaldarstellung irgendwo hinter dem Komma eine 2 aufweisen, ist eine Borelmenge . |
Laut Skript ist eine Borelmenge ein Element einer [mm] Borel-\sigma-Algebra.
[/mm]
Die grobe Richtung des Beweises ist also klar:
Man muss zeigen, dass die unter 1. und 2. angegebenen Mengen jeweils Elemente von [mm] Borel-\sigma-Algebren [/mm] sind.
Aber wie macht man das?
Wer kann mir helfen bzw. einen Tipp geben?
[Vielleicht eine Beweisskizze?]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 Sa 04.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ich habe nochmal das Skript durchgeschaut und vielleicht kann man die folgende Prop. über "Einfache Erzeuger für [mm] B(\IR^n)" [/mm] verwenden?
Jedes der folgenden Mengensysteme ist ein Erzeuger der [mm] Borel-\sigma-Algebra [/mm] [wobei n hier 1 ist]:
[mm] I_h:=\{(a,b]:a,b\in \IR^n\}
[/mm]
[mm] I_o:=\{(a,b):a,b\in \IR^n\}
[/mm]
[mm] I_c:=\{[a,b]:a,b\in \IR^n\}
[/mm]
[mm] I_u:=\{(-\infty,b]:b\in \IR^n\}
[/mm]
[mm] I_v:=\{(-\infty,b):b\in \IR^n\}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
1. kannst Du direkt zeigen, daß das für alle n abzählbar viele halboffene Intervalle sind. Fang mal mit n=1 an.
2. Die Menge konstruierst Du aus den Mengen in 1.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Sa 04.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Danke! Die Aufgabe ist mir nun verständlich.
Aber ich weiß noch nicht, wie ich das formal korrekt aufschreiben kann. |
Wie könnte man das machen?
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Hallo Dennis,
befolgen wir den Rat von Blech:
[mm] $\bigcup\limits_{i=0}^\infty[\frac{2}{10} [/mm] + [mm] i,\frac{3}{10}+i)$ [/mm] ist eine Borelmenge!
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 So 05.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
> befolgen wir den Rat von Blech:
>
> [mm]\bigcup\limits_{i=0}^\infty[\frac{2}{10} + i,\frac{3}{10})[/mm]
> ist eine Borelmenge!
Betrifft das jetzt 1.) oder 2.)?
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 So 05.12.2010 | | Autor: | Blech |
> Betrifft das jetzt 1.) oder 2.)?
Sag Du es uns.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 So 05.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Vermutlich gilt es für 1.) und 2.).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 So 05.12.2010 | | Autor: | Blech |
Schreib uns mal die ersten 5 oder 6 Intervalle auf, aus denen sich
$ [mm] \bigcup\limits_{i=0}^\infty[\frac{2}{10} [/mm] + [mm] i,\frac{3}{10}) [/mm] $
zusammensetzt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 So 05.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
> Schreib uns mal die ersten 5 oder 6 Intervalle auf, aus
> denen sich
> [mm]\bigcup\limits_{i=0}^\infty[\frac{2}{10} + i,\frac{3}{10})[/mm]
>
> zusammensetzt.
[0.2,0.3)
[1.2,1.3)
[2.2,2.3]
.
.
.
Soll die rechte Intervallgrenze nicht [mm] \bruch{3}{10}+i [/mm] lauten?
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Hallo Dennis!
> > Schreib uns mal die ersten 5 oder 6 Intervalle auf, aus
> > denen sich
> > [mm]\bigcup\limits_{i=0}^\infty[\frac{2}{10} + i,\frac{3}{10})[/mm]
>
> >
> > zusammensetzt.
>
> [0.2,0.3)
> [1.2,1.3)
> [2.2,2.3]
> .
> .
> .
>
> Soll die rechte Intervallgrenze nicht [mm]\bruch{3}{10}+i[/mm]
> lauten?
>
>
Selbstverständlich!
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 So 05.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Entschuldigung, ich bin echt blöde: Aber ich habe immer noch nicht begriffen, ob das jetzt die Lösung nur für 1.) ist oder auch für 2.). |
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
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Hallo Dennis!
> Entschuldigung, ich bin echt blöde: Aber ich habe immer
> noch nicht begriffen, ob das jetzt die Lösung nur für 1.)
> ist oder auch für 2.).
>
Weder noch!
$ [mm] \bigcup\limits_{i=0}^\infty[\frac{2}{10} [/mm] + [mm] i,\frac{3}{10}+ [/mm] i) $ ist [mm] \textbf{eine} [/mm] der Mengen aus Aufgabe 1).
Aufgabe 2): Vereinigung aller Mengen aus 1).
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 So 05.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Achja, stimmt ja! Für n=1 ist das die Menge.
Also...
Zu 1.) schreibe ich also:
Für jedes [mm] n\in \IN [/mm] ergibt sich eine Borelmenge: Exemplarisch für n=1:
[mm]\bigcup\limits_{i=0}^\infty[\frac{2}{10} + i,\frac{3}{10}+ i)[/mm]
Bei 2.) ist dann
[mm]\bigcup\limits_{n=1}^\infty\bigcup\limits_{i=0}^\infty[\frac{2}{10^n} + i,\frac{3}{10^n}+ i)[/mm]
Borelmenge. |
Kann man das so schreiben bzw. abgeben?
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Hallo Dennis!
> Achja, stimmt ja! Für n=1 ist das die Menge.
>
> Also...
> Zu 1.) schreibe ich also:
> Für jedes [mm]n\in \IN[/mm] ergibt sich eine Borelmenge:
> Exemplarisch für n=1:
> [mm]\bigcup\limits_{i=0}^\infty[\frac{2}{10} + i,\frac{3}{10}+ i)[/mm]
>
> Bei 2.) ist dann
>
> [mm]\bigcup\limits_{n=1}^\infty\bigcup\limits_{i=0}^\infty[\frac{2}{10^n} + i,\frac{3}{10^n}+ i)[/mm]
> Borelmenge.
> Kann man das so schreiben bzw. abgeben?
Statt $i$ musst Du einen von $n$ abhängigen Wert nehmen. Der Summand $i$ ist nur für $n=1$ korrekt.
Wenn Du 2) korrekt hast, kannst Du auch 1) für alle $n$ hinschreiben.
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 So 05.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Deinen Hinweis verstehe ich leider nicht.
Kann man es mir vllt. anders verständlich machen?
Ich komme nicht auf die formale Lösung dieser Aufgabe.
Dabei ist sie doch inhaltlich gar nicht so schwer.
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Hallo Dennis!
> Deinen Hinweis verstehe ich leider nicht.
> Kann man es mir vllt. anders verständlich machen?
Du hast es doch schon fast gelöst!
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> Ich komme nicht auf die formale Lösung dieser Aufgabe.
> Dabei ist sie doch inhaltlich gar nicht so schwer.
Versuche doch mal [mm] $\frac{i}{10^{n-1}}$ [/mm] einzubauen.
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 So 05.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
> Statt [mm]i[/mm] musst Du einen von [mm]n[/mm] abhängigen Wert nehmen. Der
> Summand [mm]i[/mm] ist nur für [mm]n=1[/mm] korrekt.
> Wenn Du 2) korrekt hast, kannst Du auch 1) für alle [mm]n[/mm]
> hinschreiben.
Vielleicht so? Ich bin hier wild am Rumraten:
[mm]\bigcup\limits_{n=1}^\infty[\frac{2}{10^n} + (n-1),\frac{3}{10^n}+ (n-1))[/mm]
[Das wäre dann zu 2.)]
Und zu 1.) muss man ja dann nichts mehr machen, weil es sich aus 2.) ergibt?
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Hallo Dennis!
> > Statt [mm]i[/mm] musst Du einen von [mm]n[/mm] abhängigen Wert nehmen. Der
> > Summand [mm]i[/mm] ist nur für [mm]n=1[/mm] korrekt.
> > Wenn Du 2) korrekt hast, kannst Du auch 1) für alle [mm]n[/mm]
> > hinschreiben.
>
>
> Vielleicht so? Ich bin hier wild am Rumraten:
>
>
> [mm]\bigcup\limits_{n=1}^\infty[\frac{2}{10^n} + (n-1),\frac{3}{10^n}+ (n-1))[/mm]
>
> [Das wäre dann zu 2.)]
Nein, Dein vorheriger Versuch war besser!
>
> Und zu 1.) muss man ja dann nichts mehr machen, weil es
> sich aus 2.) ergibt?
>
Die Menge aus 2) ist die Vereinigung der Mengen aus 1)
Also gibt die Mengen in 1) für alle $n$ an!
LG mathfunnel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:59 Di 07.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Tut mir leid, aber ich glaube wir drehen uns im Kreis:
Ich komme mit meinen Ideen hier nicht weiter und die Hilfestellungen beziehen sich auf meine Ideen.
Ich wäre dankbar, wenn mir jemand zu diesem Zeitpunkt einfach die Lösung nennen könnte. Die Vorarbeit dazu habe ich ja (ein bisschen) geleistet, denke ich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Do 09.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Huhu,
neben der Möglichkeit von Blech wäre es auch möglich, direkt zu zeigen, dass die Mengen unter 1 offen und damit Elemente der [mm] Borel-$\sigma$-Algebra [/mm] sind.
Warum sie offen sind, ist eigentlich in einer Zeile zu begründen.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
offen sind sie nicht.
0.20000000000000000000...
ist z.B. linker Endpunkt für n=1
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
stimmt, sie sind halboffen, mein Fehler.
Aber die Beweisidee bleibt ja gleich 
MFG,
Gono.
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