Bolzano-Weierstraß,Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Mi 12.11.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Jede beschränkte Folge von reellen Nummern hat einen Häufungswert. |
Ich verstehe den beweis, nur der Schluß macht mir Probleme warum der konstruierte Punkt nur ein Häufungswert und kein Grenzwert ist.
Unsere Definition für Häufungswert:
[mm] \forall \epsilon>0 \forall [/mm] N [mm] \in \IN \exists [/mm] m [mm] \ge [/mm] N: [mm] |a_m-a|<\epsilon
[/mm]
Der Beweis in eigenen Worten widergegeben:
-) Sei [mm] (a_n) [/mm] eine beliebige beschränkte Folge: [mm] \exists [/mm] K [mm] \in \IR [/mm] : [mm] |a_n| \le [/mm] K [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
-) Konstruiere Menge [mm] A=\{x \in \IR: a_n >x \mbox{für endlich viele }n\}
[/mm]
A [mm] \not=\emptyset [/mm] da K [mm] \in [/mm] A, weil ja rechts von K endlich viele, in dem Fall keine, Folgenglieder liegen.
A ist nach unten beschränkt durch -K, weil wenn x< -K => x [mm] \not\in [/mm] A
=> [mm] \exists [/mm] infA=:a
-) Sei [mm] \epsilon>0
[/mm]
a+ [mm] \epsilon [/mm] >0 keine untere Schranke, d.h. [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] A: [mm] y
Da y [mm] \in [/mm] A gilt für fast alle n, bis auf endlich viele [mm] a_n \le [/mm] y
=> [mm] a_n [/mm] < a+ [mm] \epsilon \gdw a_n [/mm] - a < [mm] \epsilon \forall [/mm] n ab einen bestimmten Index.
-) Sei [mm] \epsilon>0
[/mm]
[mm] a-\epsilon [/mm] < a untere SChranke von A aber nicht die größte
=> [mm] a-\epsilon \not\in [/mm] A, d.h. für fast alle n ist [mm] a-\epsilon [/mm] < [mm] a_n
[/mm]
[mm] \gdw -a_n [/mm] + a [mm] <\epsilon \forall [/mm] n ab einen bestimmen Index.
Jetzt haben wir doch gezeigt, dass für beliebiges [mm] \epsilon>0 [/mm] ab einen bestimmen Index gilt:
[mm] |a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm]
Was bedeuten würde, dass a ein Grenzwert ist und nicht nur Häufungswert? Was verstehe ich hier falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:38 Do 13.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Jede beschränkte Folge von reellen Nummern hat einen
> Häufungswert.
> Ich verstehe den beweis, nur der Schluß macht mir
> Probleme warum der konstruierte Punkt nur ein Häufungswert
> und kein Grenzwert ist.
> Unsere Definition für Häufungswert:
> [mm]\forall \epsilon>0 \forall[/mm] N [mm]\in \IN \exists[/mm] m [mm]\ge[/mm] N:
> [mm]|a_m-a|<\epsilon[/mm]
>
> Der Beweis in eigenen Worten widergegeben:
>
> -) Sei [mm](a_n)[/mm] eine beliebige beschränkte Folge: [mm]\exists[/mm] K
> [mm]\in \IR[/mm] : [mm]|a_n| \le[/mm] K [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
>
> -) Konstruiere Menge [mm]A=\{x \in \IR: a_n >x \mbox{für endlich viele }n\}[/mm]
>
> A [mm]\not=\emptyset[/mm] da K [mm]\in[/mm] A, weil ja rechts von K endlich
> viele, in dem Fall keine, Folgenglieder liegen.
> A ist nach unten beschränkt durch -K, weil wenn x< -K =>
> x [mm]\not\in[/mm] A
> => [mm]\exists[/mm] infA=:a
>
> -) Sei [mm]\epsilon>0[/mm]
> a+ [mm]\epsilon[/mm] >0 keine untere Schranke, d.h. [mm]\exists[/mm] y [mm]\in[/mm]
> A: [mm]y
> Da y [mm]\in[/mm] A gilt für fast alle n, bis auf endlich viele
> [mm]a_n \le[/mm] y
> => [mm]a_n[/mm] < a+ [mm]\epsilon \gdw a_n[/mm] - a < [mm]\epsilon \forall[/mm] n ab
> einen bestimmten Index.
Das ist O.K.
>
> -) Sei [mm]\epsilon>0[/mm]
> [mm]a-\epsilon[/mm] < a untere SChranke von A aber nicht die
> größte
> => [mm]a-\epsilon \not\in[/mm] A, d.h. für fast alle n ist
> [mm]a-\epsilon[/mm] < [mm]a_n[/mm]
Das ist nicht O.K. Es gilt nur:
[mm]a-\epsilon[/mm] < [mm]a_n[/mm] für unendlich viele n !!!
FRED
> [mm]\gdw -a_n[/mm] + a [mm]<\epsilon \forall[/mm] n ab einen bestimmen
> Index.
>
> Jetzt haben wir doch gezeigt, dass für beliebiges
> [mm]\epsilon>0[/mm] ab einen bestimmen Index gilt:
> [mm]|a_n-a|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
> Was bedeuten würde, dass a ein Grenzwert ist und nicht nur
> Häufungswert? Was verstehe ich hier falsch?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:49 Do 13.11.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo Fred, danke für die Antwort.
Aber wieso ist der Schluss bei dem vorigen Absatz richtig?
> Da y $ [mm] \in [/mm] $ A gilt für fast alle n, bis auf endlich viele
> $ [mm] a_n \le [/mm] $ y
> => $ [mm] a_n [/mm] $ < a+ $ [mm] \epsilon \gdw a_n [/mm] $ - a < $ [mm] \epsilon \forall [/mm] $ n ab
> einen bestimmten Index.
> Das ist O.K.
Das müsste dann ja auch falsch sein, und ich kann nur schreiben:
[mm] \forall [/mm] N [mm] \in \IN \exists [/mm] n [mm] \ge [/mm] N : [mm] a_n [/mm] <a [mm] +\epsilon [/mm]
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Do 13.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred, danke für die Antwort.
>
> Aber wieso ist der Schluss bei dem vorigen Absatz richtig?
> > Da y [mm]\in[/mm] A gilt für fast alle n, bis auf endlich
> viele
> > [mm]a_n \le[/mm] y
> > => [mm]a_n[/mm] < a+ [mm]\epsilon \gdw a_n[/mm] - a < [mm]\epsilon \forall[/mm] n
> ab
>
> > einen bestimmten Index.
>
>
> > Das ist O.K.
> Das müsste dann ja auch falsch sein
Nein, das ist richtig.
> , und ich kann nur
> schreiben:
> [mm]\forall[/mm] N [mm]\in \IN \exists[/mm] n [mm]\ge[/mm] N : [mm]a_n[/mm] <a [mm]+\epsilon[/mm]
>
> LG,
> sissi
Wir haben:
(1) [mm] a_n
und
(2) a- [mm] \epsilon [/mm] < [mm] a_n [/mm] für unendlich viele n.
(1) und (2) zusammen ergibt
[mm] |a_n-a|< \epsilon [/mm] für unendlich viele n,
wie gewünscht !
FRED
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