Bogenmaß und Grad < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 So 06.02.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Ich habe mal eine Frage bezüglich der Einstellungen Bogenmaß und Grad im Taschenrechner.
Bisher hatte ich keine großen Probleme bei den Einstellungen mit Bogenmaß und Grad und den trigonometrischen Funktionen.
Ich hab einfach so lange probiert, bis ich immer sinnvolle Werte rausbekommen habe.
Da das ja aber nicht der Sinn sein kann, wollte ich mich hier mal informieren, wann man nun eigentlich was nimmt.
Könnte mir das mal jmd. ausführlich erläutern?
Wann nehme ich Bogenmaß und wann Grad?
Wann rechne ich mit sin oder sin^-1?
Wann nehme ich bei sin^-1 Grad oder Bogenmaß?
Wann nehme ich bei sin Grad oder Bogenmaß?
Gibt es einen Trick/Eselsbrücke, um sich das irgendwie logisch zu merken??
Für Hilfe bin ich sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 So 06.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Maiko
> Hallo!
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> Ich habe mal eine Frage bezüglich der Einstellungen
> Bogenmaß und Grad im Taschenrechner.
>
> Bisher hatte ich keine großen Probleme bei den
> Einstellungen mit Bogenmaß und Grad und den
> trigonometrischen Funktionen.
> Ich hab einfach so lange probiert, bis ich immer sinnvolle
> Werte rausbekommen habe.
>
> Da das ja aber nicht der Sinn sein kann, wollte ich mich
> hier mal informieren, wann man nun eigentlich was nimmt.
> Könnte mir das mal jmd. ausführlich erläutern?
>
> Wann nehme ich Bogenmaß und wann Grad?
> Wann rechne ich mit sin oder sin^-1?
> Wann nehme ich bei sin^-1 Grad oder Bogenmaß?
> Wann nehme ich bei sin Grad oder Bogenmaß?
>
> Gibt es einen Trick/Eselsbrücke, um sich das irgendwie
> logisch zu merken??
>
Im Prinzip ist das völlig egal. Du musst dich einfach entscheiden!
Allerdings ist es so, dass die bekannten Reihen für die Berechnung von Sinus, Cosinus etc. nur Gültigkeit haben, wenn man das Bogenmass einsetzt.
Als Beispiel:
[mm] $\sin(x)=x-\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^7}{7!}+\bruch{x^9}{9!} [/mm] ...$
Hier wird vorausgesetzt, dass $x_$ im Bogenmass genommen wird.
Wenn du eine Eselbrücke brauchst: ich kenne keine!
Aber es gilt: Im Gebiet Geometrie/Trigonometrie hat sich das Gradmass eingebürgert, in der Analysis und Funktionentheorie hingegen das Bogenmass.
Kein Mensch würde in der Geometrie sagen: ein rechtwinkliches Dreieck hat einen Winkel von [mm] $\pi/2$.
[/mm]
In der Analysis behauptet man aber: [mm] $\sin(\pi)=0$ [/mm] 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 So 06.02.2005 | | Autor: | Maiko |
Ja, das ist verständlich.
Vielleicht könnte mir jmd. aber an einem konkreten Beispiel erklären, was für Werte ich rausbekomme, wenn ich meinen Rechner
a) auf Bogenmaß gestellt habe: (Agument ist Pi)
sin (pi) = ?
sin^-1 (pi) = ?
b) auf Grad eingestellt habe (Argument ist Pi)
sin (pi) = ?
sin^-1 (pi) = ?
c) auf Bogenmaß gestellt habe: (Argument ist 90)
sin (90) = ?
sin^-1 (90) = ?
d) auf Grad gestellt habe: (Argument ist 90)
sin (90) = ?
sin^-1 (90) = ?
Was sind das jeweils für Werte, die ich da rausbekomme? Wie habe ich sie zu interprieren? Wann verwende ich welches Ergebnis?
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 So 06.02.2005 | | Autor: | Max |
> a) auf Bogenmaß gestellt habe: (Agument ist Pi)
> sin (pi) = ?
> sin^-1 (pi) = ?
[mm] $\sin(\pi)=0$
[/mm]
> b) auf Grad eingestellt habe (Argument ist Pi)
> sin (pi) = ?
> sin^-1 (pi) = ?
[mm] $\sin(\pi°)\approx [/mm] 0,0548$
> c) auf Bogenmaß gestellt habe: (Argument ist 90)
> sin (90) = ?
> sin^-1 (90) = ?
[mm] \sin(90)\approx [/mm] 0,89399$
> d) auf Grad gestellt habe: (Argument ist 90)
> sin (90) = ?
> sin^-1 (90) = ?
[mm] $\sin(90°)=1$
[/mm]
Wenn mit [mm] $\sin^{-1}(x)$ [/mm] die Umkehrfunktion [mm] $\arcsin(x)$ [/mm] von [mm] $\sin(x)$ [/mm] gemeint ist (und nicht [mm] $\frac{1}{\sin(x)}$), [/mm] sind jeweils alle Werte von [mm] $\arcsin(x)$ [/mm] nicht definiert, da jeweils [mm] $\pi>1$ [/mm] und $90>1$ und der Sinus nur Werte zwischen $1$ und $-1$ annimmt.
Der Sinuswert ist jeweils eine Länge, nämlich die der zugehörigen Projektion am Einheitskreis (s.h. Sinus). Es ist halt nur wichtig um die richtige Länge zu erhalten zu wissen ob man den Sinus den Winkel im Gradmaß (DEG) oder im Bogenmaß (RAD) gegeben hat.
Würde man den [mm] $\arcsin$ [/mm] einer entsprechenden Länge (also zwischen $1$ und $-1$ bestimmen) wäre es wichtig zu wissen, ob man den Winkel im Gradmaß oder im Bogenmaß interpretieren muss. D.h.
im Bogenmaß (RAD):
[mm] $\arcsin(0)=0$
[/mm]
[mm] $\arcsin(1)=\frac{\pi}{2}$
[/mm]
im Gradmaß (DEG):
[mm] $\arcsin(0)=0°$
[/mm]
[mm] $\arcsin(1)=90°$
[/mm]
Übrigens, die dem $90°$-Winkel entsprechende Bogenlänge ist [mm] $\frac{\pi}{2}$, [/mm] da ja auch $360° [mm] \hat=\, 2\pi$.
[/mm]
Gruß Brackhaus
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Hi, Maiko,
es gibt noch 2 wichtige Anhaltspunkte:
1. Die meisten Aufgabensteller halten sich daran, dass man für Winkelwerte im Bogenmaß (Taschenrechner: R oder RAD) die Variablen x, y, z benutzt,
für solche im Gradmaß (D oder DEG) aber kleine griechische Buchstaben wie [mm] \alpha, \beta, \gamma, \delta, [/mm] ...
2. In der Geometrie werden oft Winkel an geometrischen Figuren berechnet (z.B. im Dreieck). Da nimmt man praktisch immer das Gradmaß.
In der Analysis verwendet man sin, cos, tan, ... meist als FUNKTIONEN.
Hier ist das Gradmaß fast nicht zu gebrauchen: Man nimmt also dort das Bogenmaß! (Einzige Ausnahme: Schnittwinkel bei Funktionsgraphen.)
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Soldi01 |
Weißt du überhaupt wie man von Grad in Bogenmaß hinundher rechnet ???
Dann dürften sich sicherlich viele Fragen von selbst lösen...
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