Bogenlänge von Epizykloide < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 Do 14.05.2015 | | Autor: | Boastii |
| Aufgabe | Die beiden verbundenen Kreisscheiben von Radius [mm] r [/mm] und Radius 1 laufen nun den Rand einer Kreisscheibe vom Radius [mm] R [/mm] von außen ab (Mittelpunkt des Kreises mit Radius [mm] R[/mm] sei (0,0 , der gemeinsame Mittelpunkt der beiden verbundenen Scheiben sei zum Zeitpunkt [mm] t=0 ; ((R+1),0) [/mm] an, die die Bahn eines Punktes auf der Rand der Kreissscheibe mit Radius [mm] r [/mm] beschreibt.
a) Gib die GLeichung der parametrisierten Kurve [mm] \gamma : \mathbb R \mapsto \mathbb R^2 [/mm]
(b) Berechen die Bogenlänge für das Intervall [mm] t [mm] \in [/mm] [0, [mm] \frac{2 \pi}{R}] [/mm] im Falle [mm] r=1 [/mm] |
Guten Tag :)
hier mein Vorgehen:
zu a)
Die allgemeine Form einer Epizykloide (im Internet gefunden) :
[mm] \gamma (t) = \vektor{(a+b) cos (t) - a cos ((a+\frac{b}{a})t) \\ (a+b) sin(t) - a sin((1+\frac{a}{b})t)} [/mm]
wobei a der Radius des außen bewegten Kreises und b der Radius des inneren Kreises beschreibt. Da [mm] a = 1 [/mm] und [mm] b = R [/mm].
habe ich erstmal
[mm] \gamma (t) = \vektor{(1+R) cos (t) - cos ((1+R) t) \\ (1+R) sin(t) - sin((1+R)t)} [/mm]
notiert.
Nun haben wir ja [mm] r [/mm], den Radius des inneren Kreises vom äußeren Kreis. Damit habe ich dann:
[mm] \gamma (t) = \vektor{(1+R) cos (t) - r cos ((1+R) t) \\ (1+R) sin(t) - r sin((1+R)t)} [/mm]
stimmt das soweit zur (a)?
Falls das bestätigt wird, zeige ich euch mein Vorgehen bei der (b).
Danke :)
Mfg Boastii
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 Fr 15.05.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Die beiden verbundenen Kreisscheiben von Radius [mm]r[/mm] und
> Radius 1 laufen nun den Rand einer Kreisscheibe vom Radius
> [mm]R[/mm] von außen ab (Mittelpunkt des Kreises mit Radius [mm]R[/mm] sei
wieviele Kreise gibt es nun? Zwei oder mehr? Kannst Du eine Zeichnung davon machen, dass man sich das vorstellen kann?
> (0,0 , der gemeinsame Mittelpunkt der beiden verbundenen
> Scheiben sei zum Zeitpunkt [mm]t=0 ; ((R+1),0)[/mm] an, die die Bahn
> eines Punktes auf der Rand der Kreissscheibe mit Radius [mm]r[/mm]
> beschreibt.
>
>
>
> a) Gib die GLeichung der parametrisierten Kurve [mm]\gamma : \mathbb R \mapsto \mathbb R^2[/mm]
>
> (b) Berechen die Bogenlänge für das Intervall [mm]t [mm]\in[/mm] [0, [mm]\frac{2 \pi}{R}][/mm] im Falle [mm]r=1[/mm]
> Guten Tag :)
> hier mein Vorgehen:
> zu a)
> Die allgemeine Form einer Epizykloide (im Internet gefunden) :
> [mm]\gamma (t) = \vektor{(a+b) cos (t) - a cos ((a+\frac{b}{a})t) \\ (a+b) sin(t) - a sin((1+\frac{a}{b})t)}[/mm]
Das hast Du falsch von Wikipedia abgeschrieben. Außerdem war es vermutlich im Sinne des Aufgabenstellers, dass Du Dir selbst überlegst wie die Parametrisierung aussieht. Sonst ist die Aufgabe ja irgendwie witzlos...
> wobei a der Radius des außen bewegten Kreises und b der Radius des inneren Kreises beschreibt. Da [mm]a = 1[/mm] und [mm]b = R [/mm].
> habe ich erstmal
> [mm]\gamma (t) = \vektor{(1+R) cos (t) - cos ((1+R) t) \\ (1+R) sin(t) - sin((1+R)t)}[/mm]
> notiert.
> Nun haben wir ja [mm]r [/mm], den Radius des inneren Kreises vom äußeren Kreis. Damit habe ich dann:
Was ist denn der 'innere Kreis vom äußeren Kreis'?
> [mm]\gamma (t) = \vektor{(1+R) cos (t) - r cos ((1+R) t) \\ (1+R) sin(t) - r sin((1+R)t)}[/mm]
> stimmt das soweit zur (a)?
Nein, in der Parametrisierung einer Epizylkoide kommen nur zwei Radien vor, Du kannst nicht einfach einen dritten einbauen.
> Falls das bestätigt wird, zeige ich euch mein Vorgehen bei der (b).
> Danke :)
> Mfg Boastii
Gruß,
notinX
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