Bogenlänge einer Helix < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die Bogenlänge L der Helix, wenn diese in Parameterform gegeben ist:
x=r*cost
y=r*sint
z=(h/2pi)*t
gemäß
[mm] L=\integral_{a}^{b}{\wurzel{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2}dt}
[/mm]
für 12 Windungen zuerst allgemein dann mit r=35cm Ganghöhe h=20cm.
Überlegen Sie , was Sie für a und b einsetzen. |
In erster Linie weiß ich nicht gena wie ich die PAramete anwenden soll.
Bin für Hilfe sehr dankbar!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 So 17.11.2013 | | Autor: | hippias |
> Berechnen Sie die Bogenlänge L der Helix, wenn diese in
> Parameterform gegeben ist:
> x=r*cost
> y=r*sint
> z=(h/2pi)*t
>
> gemäß
>
> [mm]L=\integral_{a}^{b}{\wurzel{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2}dt}[/mm]
>
> für 12 Windungen zuerst allgemein dann mit r=35cm
> Ganghöhe h=20cm.
> Überlegen Sie , was Sie für a und b einsetzen.
> In erster Linie weiß ich nicht gena wie ich die PAramete
> anwenden soll.
Ich verstehe die Frage nicht. Bilde die entsprechenden Ableitungen und fuege sie in das Integral ein. Durch Berechnung des Integrals erhaelst Du die Bogenlaenge.
> Bin für Hilfe sehr dankbar!!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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etwa so:
?
[mm] \wurzel{r^2sin^2t+r^2cos^2t+1/4h^2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 So 17.11.2013 | | Autor: | hippias |
Ja, genau. Jetzt kannst Du versuchen das Integral auszurechnen. Dazu ein Tipp: Trigonometrischer Satz des Pythagoras zu Vereinfachung des Integranden.
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Danke für deine Hilfe!!
also wenn ich vereinfache komme ich auf
[mm] \wurzel{r^2+1/4h^2} [/mm] ist das schon die Stammfunktion?
Wie kann ich dann aber weiter mit der Grenze a bis b arbeiten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 So 17.11.2013 | | Autor: | hippias |
> Danke für deine Hilfe!!
>
> also wenn ich vereinfache komme ich auf
> [mm]\wurzel{r^2+1/4h^2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hier ist ein kleiner Fehler: es muss $\sqrt{r^{2}+ \frac{h^{2}}{4\pi^{2}}$ sein. Irgendwie ist zwischenzeitig das $\pi$ abhanden gekommen.
> ist das schon die Stammfunktion?
Nein, das ist die Funktion unter dem Integral. Man nennt sie auch Integrand.
>
> Wie kann ich dann aber weiter mit der Grenze a bis b
> arbeiten?
Wenn $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, dann ist $\int_{a}^{b}fdt= F(b)-F(a)$. Finde also eine Stammfunktion von $\sqrt{r^{2}+ \frac{h^{2}}{4\pi^{2}}}$ bezueglich $t$. Es ist eine schoene Vereinfachung, dass der Integrand nicht mehr von $t$ abhaengt...
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also:
[mm] \integral\wurzel{r^2+h^2/4\pi^2}dt
[/mm]
kann das passen?
[mm] \bruch{t}{2}\wurzel{\pi^2h^2+4r^2}+C
[/mm]
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Hallo!
Hmmm, wie kommst du denn darauf?
Die Wurzel ist ein konstanter Term. Deshalb ist die Stammfunktion einfach [mm] \int\sqrt{...}\,dt=\sqrt{...}*t [/mm] .
Übrigens, wenn du dein Ergebnis mal überprüfen willst: Nimm eine leere Toilettenpapierrolle, und zeichne eine Helix mit exakt einer Windung darauf. Dann schneide die Rolle der Länge nach auf, und zwar so, daß der Schnitt genau durch den Start- und Zielpunkt läuft. Dann falte die Rolle auseinander. Wie lang ist die Linie?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 So 17.11.2013 | | Autor: | zuckerfrei |
Hallo!
Hmm also wenn ich das jetzt richtig verstanden hab dann ist die Linie gleich wie der Umfang der Rolle??
Bezüglich der Stammfunktion [mm] \wurzel{r^2+h^2/(4\pi^2)}*t
[/mm]
und dann für die Grenzen in t einsetzen?
und bei 12 windungen die Grenze 0-12?
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Hallo!
Das ist nicht richtig. Denk dran, daß t eher sowas wie ein Winkel ist (wegen [mm] \sin(t) [/mm] ). Das heißt, 1 Umdrehung ist [mm] 2\pi [/mm] . Setze [mm] t=24\pi [/mm] , und du hast deine 12 Umdrehungen.
Nebenbei: Dann steht da (für eine Windung) [mm] \sqrt{r^2+\left(\frac{h}{2\pi}\right)^2}*2\pi=\sqrt{\left(r^2+\left(\frac{h}{2\pi}\right)^2\right)*(2\pi)^2}=\sqrt{(2\pi r)^2+h^2}==\sqrt{U^2+h^2}
[/mm]
Das ist genau der Pythagoras, der bei der Klopapierrolle auch raus kommt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:38 Mo 18.11.2013 | | Autor: | zuckerfrei |
ja gestern hab ich mir das mit der Rolle nochmal überlegt dannn hab ich gemerkt dass ich da einen Blödsinn geschrieben hab  also die Bogenlänge entspricht wenn C die Bogenlänge ist [mm] c=\wurzel{a^2+b^2} [/mm] bei dieser Aufgabe eben [mm] L=\wurzel{U^2+h^2}
[/mm]
Ich wäre nie draufgekommen dass [mm] t=24\pi [/mm] bei 12 Umdrehungen bei einer [mm] t=2\pi [/mm] sein kann.
Danke du hast mir sehr geholfen!!
> Das ist nicht richtig. Denk dran, daß t eher sowas wie ein
> Winkel ist (wegen [mm]\sin(t)[/mm] ). Das heißt, 1 Umdrehung ist
> [mm]2\pi[/mm] . Setze [mm]t=24\pi[/mm] , und du hast deine 12 Umdrehungen.
>
>
> Nebenbei: Dann steht da (für eine Windung)
> [mm]\sqrt{r^2+\left(\frac{h}{2\pi}\right)^2}*2\pi=\sqrt{\left(r^2+\left(\frac{h}{2\pi}\right)^2\right)*(2\pi)^2}=\sqrt{(2\pi r)^2+h^2}==\sqrt{U^2+h^2}[/mm]
>
> Das ist genau der Pythagoras, der bei der Klopapierrolle
> auch raus kommt.
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> Berechnen Sie die Bogenlänge L der Helix, wenn diese in
> Parameterform gegeben ist:
> x=r*cost
> y=r*sint
> z=(h/2pi)*t ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> gemäß
>
> [mm]L=\integral_{a}^{b}{\wurzel{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2}dt}[/mm]
>
> für 12 Windungen zuerst allgemein dann mit r=35cm
> Ganghöhe h=20cm.
> Überlegen Sie , was Sie für a und b einsetzen.
Hallo zuckerfrei,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Die Gleichung für z sollte vermutlich so lauten:
$\ z\ =\ [mm] \frac{h}{2*\pi}*t$
[/mm]
Aus deiner Schreibweise z=(h/2pi)*t kann man die-
sen Sinn allerdings nur mit gutem Willen und ohne
volle Beachtung der üblichen Rechenregeln heraus-
spüren !
Ich möchte hier im Übrigen nur auf einen Lösungs-
weg hinweisen, bei dem man sogar ohne Integration
auskommt. Die durch die parametrische Darstellung
beschriebene "Helix" oder Schraubenlinie ist eine
Kurve, die vollständig in einer Kreiszylinderfläche
liegt und zu einer geraden Strecke wird, wenn man
diese Zylinderfläche in die Ebene abrollt. Bei diesem
Abrollungsprozess bleibt die Bogenlänge erhalten,
und die Länge der resultierenden Strecke kann man
dann leicht mittels Pythagoras' bekanntestem Satz
berechnen.
LG , Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 So 17.11.2013 | | Autor: | zuckerfrei |
Hallo!
Danke für den Tipp!
Das hab ich auch schon mal wo gelesen, aber eben bei dieser Aufgabenstellung war die Kunst der Integration gefragt
Sorry für mein Z=... natürlich war [mm] z=\bruch{h}{2\pi}*t [/mm] gemeint
Wenn man diese Aufgabe mit dem pythagoras rechnen würde wie könnte man die Länge über 12 Windungen ausrechnen?
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> Hallo!
> Danke für den Tipp!
> Das hab ich auch schon mal wo gelesen, aber eben bei
> dieser Aufgabenstellung war die Kunst der Integration
> gefragt
> Wenn man diese Aufgabe mit dem pythagoras rechnen würde
> wie könnte man die Länge über 12 Windungen ausrechnen?
Setze $\ [mm] a:=12*u_{Grundkreis}$ [/mm] und $\ b:= 12*Gangh [mm] \ddot [/mm] o he$ .
Dann ist die gesamte Bogenlänge gleich
$\ [mm] L:=\sqrt{a^2+b^2}$ [/mm] .
Benütze diese Methode einfach zur Kontrolle deiner
Ergebnisse, die du via Integration erhältst !
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 So 17.11.2013 | | Autor: | zuckerfrei |
Danke für deine Hilfe!
mit der Methode ohne Integral kommt was sinnvolles raus aber bei miener Stammfunktion stimmt etwas nicht, glaube ich weil da kommt ein andere Wert raus. Da muss ich noch weiter kämpfen
Lg
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