Bogenlänge einer Funktion?! < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hab hier folgende Aufgabenstellung einer ehemaligen Klausur und bin ein wenig dran gescheitert(ich lerne für meine anstehende Klausur am 6.):
Berechnen Sie die Bogenlänge der folgenden Kurve:
[mm] \alpha_r [/mm] : [0,r] [mm] \to \IR^2, [/mm] t [mm] \to \begin{pmatrix} t^2 \\ t^3 \end{pmatrix} [/mm] ,
wobei r [mm] \in \IR_>0 [/mm] .
Ich komme zwar auf ne Formel aber das ist dann ein so eine beknackte Wurzel, dass ich das Integral davon nich hinbekomme. Vielleicht hab ich ja auch die Tage nur ein Brett vorm Kopf gehabt. Kann mir jemand vielleicht bei der Aufgabe helfen, denn sie dient für mich als Beispielaufgabe beim Lernen?!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 Fr 01.10.2004 | | Autor: | hubedidup |
Ich dachte die Formel zur Berechnung wäre [mm] \integral_{a}^{b} \wurzel{1 + f'(x)^2} [/mm] dx
Steht hier bei euch irgendwo im Board geschrieben!
Gruß Ralf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 Fr 01.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo hubedidup!
Diese Formel gilt für Kurven, die als Graph einer reellwertigen Funktion $f: [a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] darstellbar sind.
Für allgemeine Kurven [mm] $\gamma=(\gamma_1,\gamma_2)^T [/mm] :[a,b] [mm] \to \IR^2$ [/mm] gilt die Formel:
[mm] $L(\gamma) [/mm] = [mm] \int_a^b \Vert \gamma'(s) \Vert\, [/mm] ds = [mm] \int_a^b \sqrt{(\gamma_1'(s))^2 + (\gamma_2'(s))^2} \, [/mm] ds$.
Wie von von der einen Formel auf die andere (also den obigen Spezialfall, wo die Kurve ein Graph einer Funktion ist) kommt, wird hier von Stefan erläutert.
Jetzt klar?
Liebe Grüße
Julius
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Jetzt verstehe ich was gemeint ist, wenn nach der Bogenlänge einer Kurve gefragt wird. Es handelt sich also dann um die Länge der Kurve im Bildraum. Der angesprochene Sonderfall einer reellwertigen Funktion nimmt allerdings die Kurve, die im Raum bestehend aus [a,b] (Urbildraum) und [mm] \IR [/mm] (Bildraum) liegt, da eine Betrachtung des reinen Bildraums unsinn wäre weil dort ja dann lediglich die Differenz der Funktionwerte rauskommen würde. Bei Abbildungen in höherdimensionale Räume wird also lediglich der Bildraum betrachtet, richtig?
Gruß Ralf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 Fr 01.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Ralf!
Ja, so kann man das sagen. 
Liebe Grüße
Julius
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Wie soll das mit der Substitution gehen??? [mm] t^2 [/mm] is dann weg, aber dt kann ich nicht in ds umwandeln ohne mir wieder ein [mm] \bruch{1}{2t} [/mm] einzufangen.
Gruß Ralf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:01 Sa 02.10.2004 | | Autor: | hubedidup |
Oh mann hatte ich ein Brett vorm Kopf. Klar kann man dann einfach die Wurzel einsetzen......
Gruß Ralf
Ich bin so schlau, dass ich weiss wie dumm ich bin.
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Hi, hubedidup,
nenen wir die 1te Komponente $x$, die 2te $y$ dann ist [mm] $\text{dx} [/mm] = [mm] 2t*\text{dt}$ [/mm] und [mm] $\text{dy} [/mm] = [mm] 3t^2 \text{dt}$,
[/mm]
das Bogendifferential also [mm] $\text{ds}=\wurzel{\text{dx}^2 + \text{dy}^2} [/mm] = t [mm] \wurzel{4+9t²}\text{ dt} [/mm] = [mm] 2t*\wurzel{1 + \left( \bruch{3t}{2}\right) ^2}*\text{dt}$
[/mm]
Zur
Integration substituiere
[mm] $\bruch{3t}{2} [/mm] = [mm] \sinh [/mm] u$ also $t = [mm] \bruch{2}{3}\sinh [/mm] u$ und$ [mm] \text{dt = }\bruch{2\tex{du}}{3}\cosh [/mm] u$
da ja
[mm] $\cosh [/mm] ^2 u - [mm] \sinh [/mm] ^2 u = 1 $ also $ 1 + [mm] \sinh [/mm] ^2 u = [mm] \cosh [/mm] ^2 u$ gilt wird der Integrand zu
zu einem Produkt hyperbolischer sin und cos, das entweder Partiel oder vielleicht bequemer
durch ausmultiplizieren der durch e Funktionen ausgedrückten sinh, cosh integriert werden kann.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:41 Fr 01.10.2004 | | Autor: | hubedidup |
Mit allen Hilfestellungen von euch komme ich am Ende auf:
[mm] L(r) = \bruch{4}{27} \left[ \left( 1 + \left( \bruch{3r}{2} \right)^2 \right)^\bruch{3}{2} - 1 \right] [/mm]
Kann das sein?
Gruß Ralf
P.S. Schonmal vielen Dank für die Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 Fr 01.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo hubedidup!
Einer von uns beiden muss sich verrechnet haben... vermutlich ich. (?) 
Kannst du das mal überprüfen?
Mir wurde bereits von anderer Stelle aus gesagt, dass mein weiter oben im Diskussionsstrang gegebenes Ergebnis richtig ist und dass du dich somit verrechnet haben musst. Findest du deinen Fehler?
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:48 Sa 02.10.2004 | | Autor: | hubedidup |
Hab den Fehler gefunden! War natürlich in der allerersten Zeile(*grummel*)! Schonmal danke für die Hilfe. Das Prinzip ist klar und der Rest wird sich in der Klausur zeigen.
Gruß Ralf
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