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Hallo, ich habe ein Problem bei diesem Beispiel:
9y² = (x+1)² * (x+4)
gesucht ist die Länge der Kurve!
ich habe so angefangen: (erst nach y umformen)
9y²=(x²+2x+1)*(x+4)
9y²=x³+6x²+9x+4
y²=1/9*x³+2/3*x²+x+4/9
y= [mm] \wurzel[2]{(1/9x³+2/3x²+x+4/9)}
[/mm]
dann ableiten:
y'=1/2 * [mm] (1/9*x³+2/3*x²+x+4/9)^{-1/2} [/mm] * (1/3*x²+4/3x+1)
--> [mm] \bruch{(1/3*x²+4/3*x+1)}{2* \wurzel[2]{(1/9*x³+2/3x²+x+4/9)}}
[/mm]
[y']²= [mm] \bruch{(1/9*x^{4}+8/9*x³+22/9*x²+8/3x+1)}{(4/9*x³+8/3*x²+4x+16/9)}
[/mm]
[y']²+1= [mm] \bruch{(1/9*x^{4}+4/3*x³+46/9*x²+20/3*x+25/9)}{(4/9*x³+8/3*x²+4x+16/9)}
[/mm]
ich muss noch die Nullstellen ausrechnen, damit ich Grenzen bekommen, aber dann muss ich ja substituieren, da die Formel so lautet:
s= [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] { [mm] \wurzel{1+[y']²}dx}
[/mm]
ich habe beim substituieren probleme, darum wollte ich fragen, ob man in den schritten vorher, irgendetwas vereinfachen oder anders rechnen kann....
wäre für jede antwort dankbar!!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Julia,
> Hallo, ich habe ein Problem bei diesem Beispiel:
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> [mm] $9y^2 [/mm] = [mm] \left(x+1\right)^2\left(x+4\right)$
[/mm]
>
> gesucht ist die Länge der Kurve!
Du hast dir die Aufgabe unnötig schwer gemacht, indem du rechts alles ausmultipliziert hast. Wenn Du eine Aufgabe löst, mußt Du immer an das eigentliche Ziel bei einer Aufgabe denken. In diesem Falle erwartet man von dir nur das Aufstellen einer Funktion und dann das entsprechende Integrieren. Durch die anderen Schritte rückst Du etwas von diesem Ziel ab, also:
[m]\begin{gathered}
9y^2 = \left( {x + 1} \right)^2 \left( {x + 4} \right) \Leftrightarrow y^2 = \frac{{\left( {x + 1} \right)^2 \left( {x + 4} \right)}}
{9} \hfill \\
\Rightarrow y = \pm \sqrt {\frac{{\left( {x + 1} \right)^2 \left( {x + 4} \right)}}
{9}} = \pm \frac{{\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 4} }}
{3} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Da nur nach der Länge der Kurve gefragt ist, reicht es die Funktion: [m]f\left( x \right): = \tfrac{{\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 4} }}{3}[/m] zu betrachten. Die Nullstellen können wir aus [m]g\left( x \right): = \tfrac{{\left( {x + 1} \right)^2 \left( {x + 4} \right)}}{9}[/m] sofort ablesen (Indem Du das ausmultipliziert hast, hast Du dich selbst um die Nullstellen gebracht!  ). Jetzt bestimmen wir [mm] $f'^2\left(x\right)$:
[/mm]
[m]\begin{gathered}
f'\left( x \right)\mathop {: = }\limits^{{\text{Quotientenregel}}} \frac{{3\left( {\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 4} } \right)'}}
{9}\mathop = \limits^{{\text{Produktregel}}} \frac{{3\left( {\sqrt {x + 4} + \left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 4} } \right)'} \right)}}
{9} \hfill \\
\mathop = \limits^{{\text{Kettenregel}}} \frac{{3\left( {\sqrt {x + 4} + \left( {x + 1} \right)\frac{1}
{{2\sqrt {x + 4} }}} \right)}}
{9} = \frac{1}
{3}\left( {\frac{{2\sqrt {x + 4} \sqrt {x + 4} }}
{{2\sqrt {x + 4} }} + \left( {x + 1} \right)\frac{1}
{{2\sqrt {x + 4} }}} \right) \hfill \\
= \frac{1}
{3}\left( {\frac{{2\left( {x + 4} \right)}}
{{2\sqrt {x + 4} }} + \left( {x + 1} \right)\frac{1}
{{2\sqrt {x + 4} }}} \right) = \frac{1}
{3}\left( {\frac{{2\left( {x + 4} \right) + x + 1}}
{{2\sqrt {x + 4} }}} \right) = \frac{1}
{3}\left( {\frac{{3x + 9}}
{{2\sqrt {x + 4} }}} \right) \hfill \\
= \frac{{x + 3}}
{{2\sqrt {x + 4} }} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Viele Grüße
Karl
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hallo, danke für deine antwort, hat mir sehr weitergeholfen.
trotzdem hab ich noch ein problem :)
dir kommt ja für f'(x) raus:
[mm] \bruch{x+3}{2* \wurzel{x+4}}
[/mm]
wenn ich das dann quadriere und +1 rechne kommt mir raus:
[mm] \wurzel{ \bruch{x²+6x+9}{4x+16} +1}
[/mm]
-->s= [mm] \integral_{-4}^{-1} [/mm] { [mm] \wurzel{ \bruch{x²+10x+25}{4x+16}}dx}
[/mm]
das kann ich ja wieder nicht substituieren......
könntest du mir da wieder irgendwie helfen? bitte...
Julia
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:45 Do 24.02.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> -->s= [mm]\integral_{-4}^{-1}[/mm] [mm]\wurzel{ \bruch{x²+10x+25}{4x+16}}dx}
[/mm]
Wenn irgendwo unter ner Wurzel so was schönes wie eine Quadratzahl hier 25 steht, sieht man nach ob man eine Binomische Formel entdecken kann!
s= [mm]\integral_{-4}^{-1}[/mm] [mm]\wurzel{ \bruch{x²+10x+25}{4x+16}}dx}=\integral_{-4}^{-1}[/mm] [mm]\bruch{x+4+1}{\wurzel{4(x+4)}}dx}=
\bruch{1}{2}*\integral_{-4}^{-1} { \wurzel{(x+4)} dx} + \bruch{1}{2}*\integral_{-4}^{-1} {\bruch{1}{\wurzel{(x+4)}}dx}
[/mm]
> das kann ich ja wieder nicht substituieren......
brauchst du jetzt auch nicht mehr!
Gruss leduart
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Hallo Julia,
ich mach mal da weiter wo Karl aufgehört hat:
Es ergibt sich dann:
[mm]\begin{gathered}
1\; + \;\left( {f^{'} \left( x \right)} \right)^{2} \; = \;1\; + \;\frac{{\left( {x\; + \;3} \right)^2 }}
{{4\;\left( {x\; + \;4} \right)}} \\
= \;\frac{{\left( {x\; + \;5} \right)^{2} }}
{{4\;\left( {x\; + \;4} \right)}} \\
\end{gathered} [/mm]
Ergo ist
[mm]
\begin{gathered}
\int {\sqrt {1\; + \;\left( {f^{'} \left( x \right)} \right)^{2} } \;dx} \; = \;\int {\sqrt {\frac{{\left( {x\; + \;5} \right)^{2} }}
{{4\;\left( {x\; + \;4} \right)}}} } \;dx \\
= \;\int {\frac{{x\; + \;5}}
{{2\;\sqrt {x\; + \;4} }}\;dx} \\
\end{gathered} [/mm]
Ich denke jetzt kommst Du alleine weiter.
Gruß
MathePower
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