Bogenlänge Federkurve < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:59 Mi 30.03.2011 | | Autor: | mwieland |
| Aufgabe | Man betrachte die folgende Federkurve:
[mm] \vec{x}(t) [/mm] = [mm] \vektor{t² \\ cos(2t) \\ sin(2t)} [/mm] mit t [mm] \in [0,2\pi]
[/mm]
Berechnen Sie die Bogenlänge folgender Kurve! |
Ich bräuchte bitte hilfe beim Ansatz bzw. nochmal eine genau Erklärung, wie das mit den Bogenlängen grundsätzlich funtioniert, da dies in der Vorlesung nicht sehr gut erklärt wurde und das Skriptum auch sehr wenig aussagekräftiges zu bieten hat!
dank im vorraus,
lg mark
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:31 Mi 30.03.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo mwieland,
siehe meine Antwort auf deine andere Frage:
Für die Bogenlänge [mm]s[/mm] einer Kurve [mm]x(t)=\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}[/mm] auf dem Interval [a,b] gilt:
[mm]s=\int_a^b\sqrt{x_1^\prime(t)^2+x_2^\prime(t)^2+x_3^\prime(t)^2}dt[/mm].
Wenn du nicht weiterkommst, rechne hier mal vor was du hast und frag erneut nach.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 Mi 30.03.2011 | | Autor: | mwieland |
ich komme nun auf folgendes integral, wenn ich in die formel einsetze:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{(2t)^{2}+(-2sin(2t))^{2}+(2cos(2t))^{2}} dt}
[/mm]
könnte mir da jemand bitte beim ansatz behilflich sein, dieses integral zu lösen?
danke im vorraus, mark
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Hallo Mark,
> ich komme nun auf folgendes integral, wenn ich in die
> formel einsetze:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{(2t)^{2}+(-2sin(2t))^{2}+(2cos(2t))^{2}} dt}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> könnte mir da jemand bitte beim ansatz behilflich sein,
> dieses integral zu lösen?
Na, wie das immer so geht, Quadrate ausrechnen, dann 4 ausklammern und aus der Wurzel holen, vor das Integral ziehen und den trig. Pythagoras benutzen [mm]\sin^2(z)+\cos^2(z)=1[/mm]
Das vereinfacht sich recht stark ...
>
> danke im vorraus, mark
Ein "r" genügt völlig 
Gruß
schachuzipus
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