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| Aufgabe | 1a) Man berechne die Länge der Kurve, die durch die Koordinatenfunktionen
[mm] x(t)=e^{-3t}sin(2t)
[/mm]
[mm] y(t)=e^{-3t}cos(2t)
[/mm]
für t [mm] \in [0,\pi]
[/mm]
gegeben ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
meine vorgehensweise:
[mm] L=\integral_{a}^{b}{\wurzel{x(t)'^2+y(t)'^2} dt}
[/mm]
[mm] x'(t)=-3e^{-3t}sin(2t)+2e^{-3t}cos(2t)=e^{-3t}*(2cos(2t)-3sin(2t))
[/mm]
[mm] y'(t)=-3e^{-3t}cos(2t)+2e^{-3t}(-sin(2t))=e^{-3t}*(-3cos(2t)-2sin(2t))
[/mm]
[mm] x'(t)^2+y'(t)^2=e^{-6t}*(4cos^2(2t)-12sin(2t)cos(2t)+9sin^2(2t))+e^{-6t}*(9cos^2(2t)+12sin(2t)cos(2t)+4sin^2(2t))=e^{-6t}*(13cos^2(2t)+13sin^2(2t))
[/mm]
[mm] \wurzel{
x'(t)^2+y'(t)^2}=e^{-3t}*\wurzel{13} [/mm]
[mm] L=\wurzel{13}\integral_{0}^{\pi}{e^{-3t}dt}
[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{13}}{3}*(1-e^{-3\pi})
[/mm]
das wäre mein lösungsvorschlag ist das richtig?
_________________________________________________________
nun hab ich aber auch eine frage zur berechnung von y'(t):
wenn ich anstellen von:
[mm] y'(t)=e^{-3t}*(-3cos(2t)-2sin(2t))
[/mm]
folgendes rechne:
[mm] y'(t)=-e^{-3t}*(3cos(2t)+2sin(2t))
[/mm]
dann bekomme ich für [mm] x'(t)^2+y'(t)^2:
[/mm]
[mm] x'(t)^2+y'(t)^2=e^{-6t}*(4cos^2(2t)-12sin(2t)cos(2t)+9sin^2(2t))-e^{6t}*(9cos^2(2t)+12sin(2t)cos(2t)+4sin^2(2t))=e^{-6t}*(-5cos^2(2t)-24sin(2t)cos(2t)+5sin^2(2t))
[/mm]
und wie man davon die wurzel ziehen soll das weiß ich nicht, das geht in meinen augen nicht wirklich gut.
jetzt stellt sich mir die frage hab ich einen rechenfehler gemacht, oder hab ich richtig gerechnet, aber es kommt einfach so ein unschöner term heraus?
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Hallo BlubbBlubb,
> 1a) Man berechne die Länge der Kurve, die durch die
> Koordinatenfunktionen
>
> [mm]x(t)=e^{-3t}sin(2t)[/mm]
>
> [mm]y(t)=e^{-3t}cos(2t)[/mm]
>
> für t [mm]\in [0,\pi][/mm]
>
> gegeben ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> meine vorgehensweise:
>
> [mm]L=\integral_{a}^{b}{\wurzel{x(t)'^2+y(t)'^2} dt}[/mm]
>
> [mm]x'(t)=-3e^{-3t}sin(2t)+2e^{-3t}cos(2t)=e^{-3t}*(2cos(2t)-3sin(2t))[/mm]
>
> [mm]y'(t)=-3e^{-3t}cos(2t)+2e^{-3t}(-sin(2t))=e^{-3t}*(-3cos(2t)-2sin(2t))[/mm]
>
> [mm]x'(t)^2+y'(t)^2=e^{-6t}*(4cos^2(2t)-12sin(2t)cos(2t)+9sin^2(2t))+e^{-6t}*(9cos^2(2t)+12sin(2t)cos(2t)+4sin^2(2t))=e^{-6t}*(13cos^2(2t)+13sin^2(2t))[/mm]
>
> [mm]\wurzel{
x'(t)^2+y'(t)^2}=e^{-3t}*\wurzel{13}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]L=\wurzel{13}\integral_{0}^{\pi}{e^{-3t}dt}[/mm]
> [mm]=\bruch{\wurzel{13}}{3}*(1-e^{-3\pi})[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> das wäre mein lösungsvorschlag ist das richtig?
Ja, alles bestens!
>
> _________________________________________________________
>
> nun hab ich aber auch eine frage zur berechnung von y'(t):
>
> wenn ich anstellen von:
> [mm]y'(t)=e^{-3t}*(-3cos(2t)-2sin(2t))[/mm]
>
> folgendes rechne:
> [mm]y'(t)=-e^{-3t}*(3cos(2t)+2sin(2t))[/mm]
>
> dann bekomme ich für [mm]x'(t)^2+y'(t)^2:[/mm]
>
> [mm]x'(t)^2+y'(t)^2=e^{-6t}*(4cos^2(2t)-12sin(2t)cos(2t)+9sin^2(2t)) \ \red{-} \ e^{6t}*(9cos^2(2t)+12sin(2t)cos(2t)+4sin^2(2t))=e^{-6t}*(-5cos^2(2t)-24sin(2t)cos(2t)+5sin^2(2t))[/mm]
Das rot markierte Minus ist falsch, du quadrierst ja als ersten Faktor von $y'(t)$ das [mm] $-e^{-3t}$, [/mm] das gibt [mm] $\left(-e^{-3t}\right)^2=\blue{+}e^{-6t}$
[/mm]
Dann hebt sich wieder alles brav weg, wie beim ersten Ansatz.
Es müssen ja auch beide Ansätze zum selben Ergebnis führen, es sind ja dieselben Ausdrücke für $y'(t)$ 
>
> und wie man davon die wurzel ziehen soll das weiß ich
> nicht, das geht in meinen augen nicht wirklich gut.
>
> jetzt stellt sich mir die frage hab ich einen rechenfehler
> gemacht, oder hab ich richtig gerechnet, aber es kommt
> einfach so ein unschöner term heraus?
In der Tat, dank dem VZF
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 Mi 30.07.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
ja stimmt jetzt wo dus sagst seh ich den fehler :P , danke fürs durchschauen
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