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| Aufgabe | Betrachten sie die Kurve [mm] \gamma: [0,2\pi] \rightarrow \IR^2, [/mm] t [mm] \rightarrow ((cost)^3, (sint)^3).
[/mm]
Skizzieren Sie den Bogen von [mm] \gamma. [/mm] Kommt Ihnen das Bild bekannt vor? |
Guten Tag,
wir haben diese Woche mit Kurven begonnen und ich habe Probleme die Grundlagen zu verstehen.
Die Kurve in der Aufgabe ist ja stark verwandt mit der Kurve für den Einheitskreis. Der einzige Unterschied ist das ^3 bei cos und sin von t. Deshalb habe ich versucht zu verstehen wie man aus der Formel für den Einheitskreis auf den Einheitskreis schließen kann. Das Intervall geht von 0 bis [mm] 2\pi, [/mm] was gerade der Umfang vom Einheitskreis ist und es wird auf [mm] \IR^2 [/mm] abgebildet. In [mm] \IR^2 [/mm] lässt sich ja der Einheitskreis zeichnen. Aber ich verstehe nicht warum die t Funktion den einheitskreis abbildet. Bisher haben wir den Einheitskreis mit [mm] 1=x^2+y^2 [/mm] abgebildet, was ja auch leicht nachvollziehbar ist.
Da ich nicht nachvollziehen kann wie man den Einheitskreis auf diese Art und Weise abbildet, kommt ich auch bei dieser Variation nicht weiter.
Gruß almightybald
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Fr 12.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> Betrachten sie die Kurve [mm]\gamma: [0,2\pi] \rightarrow \IR^2,[/mm]
> t [mm]\rightarrow ((cost)^3, (sint)^3).[/mm]
> Skizzieren Sie den
> Bogen von [mm]\gamma.[/mm] Kommt Ihnen das Bild bekannt vor?
> Guten Tag,
>
> wir haben diese Woche mit Kurven begonnen und ich habe
> Probleme die Grundlagen zu verstehen.
> Die Kurve in der Aufgabe ist ja stark verwandt mit der
> Kurve für den Einheitskreis. Der einzige Unterschied ist
> das ^3 bei cos und sin von t. Deshalb habe ich versucht zu
> verstehen wie man aus der Formel für den Einheitskreis auf
> den Einheitskreis schließen kann. Das Intervall geht von 0
> bis [mm]2\pi,[/mm] was gerade der Umfang vom Einheitskreis ist und
> es wird auf [mm]\IR^2[/mm] abgebildet. In [mm]\IR^2[/mm] lässt sich ja der
> Einheitskreis zeichnen. Aber ich verstehe nicht warum die t
> Funktion den einheitskreis abbildet. Bisher haben wir den
> Einheitskreis mit [mm]1=x^2+y^2[/mm] abgebildet, was ja auch leicht
> nachvollziehbar ist.
> Da ich nicht nachvollziehen kann wie man den Einheitskreis
> auf diese Art und Weise abbildet, kommt ich auch bei dieser
> Variation nicht weiter.
>
> Gruß almightybald
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Irgendwie verstehe ich Deine Fragen nicht ganz. Die einmal (gegen den Uhrzeigersinn) durchlaufene Einheitskreislinie ist gegeben durch
[mm] $\partial B_1(0):[0,2\pi]\rightarrow\IC$ [/mm] mit [mm] $t\mapsto e^{it}$
[/mm]
Allgemeiner: Die einmal (gegen den Uhrzeigersinn) durchlaufene Kreislinie mit Mittelpunkt [mm] $z\in\IC$ [/mm] und Radius $r>0$ ist gegeben durch
[mm] $\partial B_r(z):[0,2\pi]\rightarrow\IC$ [/mm] mit [mm] $t\mapsto z+re^{it}$
[/mm]
Deine Kurve ist allerdings, wie Du festgestellt hast, nicht die Einheitskreislinie.
Zu Deiner Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier eine Moeglichkeit.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier eine weitere Moeglichkeit. Die senkrechte Achse (also die $z$-Achse) im 2. Bild ist die Zeitachse.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Fr 12.06.2009 | | Autor: | Rindvieh |
Hallo zusammen,
ich muss über´s Wochenende genau die gleiche Aufgabe lösen. (vermutlich gleicher Kurs und gleiche Uni... ;) )
Ich habe allerdings noch überhaupt nicht verstanden, wie man von einer vorgegebenen Kurvenfunktion auf den dazugehörigen Graphen kommt. Ist das erste Bild in der Antwort nun der Graph zur Funktion: t [mm] \mapsto ((cost)^3,(sint)^3) [/mm] ? Und wenn ja, wie kann man das aus der Funktion ablesen?
Liebe Grüße
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> Ist das erste Bild in der
> Antwort nun der Graph zur Funktion: t [mm]\mapsto ((cost)^3,(sint)^3)[/mm]
> ?
hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ja, so ist es.
> Und wenn ja, wie kann man das aus der Funktion ablesen?
Du willst wissen, wie Du zur Skizze kommst, richtig?
Zu jedem Zeitpunkt t befindet sich Dein Teilchen an einer bestimmten Stelle der xy-Ebene.
Du markierst nun den Weg, den es nimmt.
Zum Zeitpunkt t=0 ist es im Punkt ((cos [mm] 0)^3,(sin 0)^3)=(1,0)
[/mm]
Zum Zeitpunkt t=0.2 ist es im Punkt ((cos [mm] 0.2)^3,(sin 0.2)^3)=...
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
Zum Zeitpunkt [mm] t=\pi/2 [/mm] ist es im Punkt ((cos [mm] \pi/2)^3,(sin \pi/2)^3)=...
[/mm]
usw..,
bis Du für so viele Werte zwischen 0 und [mm] 2\pi [/mm] den "Aufenthaltsort" ermittelt hast und den Bogen zeichnen kannst.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Fr 12.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo an beide.
1. Weg: betrachte die symmetrie zur x, und y Achse, also muss man nur bis [mm] t=\pi/2 [/mm] gehen um dann zu spiegeln. also setzt man einfach ca 8 bis 10 Werte ein un zeichnet die Punkte, genau wie ihr in der Schle Funktionsgraphen mit Wertetabellen bestimmt habt.
2. man ueberlegt sich den Unterschied zum Kreis.
bie 0 und /pi/2 hat man dieselben punkte. dazwischen ist ja sin^2t+cos^2t=1 und da sint und cost <1 sind, geht die Kurve vom Kreis aus nach innen, am staerksten bei [mm] \pi/4. [/mm] naemlich um den faktor 1/2|wurzel{2} und immer weniger nach aussen.
das ist die qualitative Ueberlegung.
Das Gebilde ist eine Astroide, guck mal in wiki die "mechanische Herstellung" als Epizykloide an.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Di 16.06.2009 | | Autor: | Rindvieh |
Hallo,
danke für die Antworten. Die triviale Lösung mit dem Einsetzen wäre meine Notlösung gewesen. Ich dachte, es geht vllt durch Umstellen einer der Funktionen nach t und dann Einsetzen in die andere. Dann bekomme ich nämlich [mm] y=(sin(arccos(x^3/2)))^3 [/mm] raus, wobei der dazugehörige Graph nicht mit dem hier im Forum übereinstimmt.
Deshalb werde ich jetzt wohl doch mal eine Wertetabelle anlegen.
Danke und nen schönen Abend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:25 Di 16.06.2009 | | Autor: | Rindvieh |
Es muss x^(2/3) heißen...
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