Boel-Cantelli-Lemma < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:05 Do 25.10.2007 | | Autor: | Freak84 |
Hi
Ich habe hier ein verständnisproblem mit den Lemma von Borel Cantelle.
Ich bekomme es irgendwie nichtin meinen kopf was der Limes Superior darstellt und was ich zuerst machen muss vereinigen oder schneiden und wie die Menge der Ereignisse am Schluss dann aussieht.
Wäre gut wenn mir das mal jemand erklären würde.
Wir haben die Def.:
limsup [mm] A_{n} [/mm] = [mm] \bigcap_{m=1}^{\infty}\bigcup_{m=n}^{\infty} A_{n}
[/mm]
Wobei [mm] A_{n} [/mm] eine Folge von Ereignissen.
Gruß
Michael
|
|
| |
|
Grüße!
Einfach ist das leider nicht... schauen wir es uns genauer an.
Du hast eine Familie von Mengen [mm] $A_n$ [/mm] gegeben und betrachtest nun
[mm] $\bigcap_{m=1}^\infty \bigcup_{n=m}^\infty A_n$
[/mm]
Was soll das bedeuten? Ein Element aus der Gesamtmenge [mm] $\Omega$ [/mm] liegt ja genau dann in dem großen Schnitt, wenn es in jeder der Mengen liegt, über die geschnitten wird.
In Formeln:
[mm] $\omega \in \limsup A_n \iff \; \forall \; [/mm] m [mm] \in \IN [/mm] : [mm] \omega \in \bigcup_{n=m}^\infty A_n$
[/mm]
Diese Vereinigungen hinten sind ja ineinander enthalten. Anschaulich bedeutet diese Definition: ein Element [mm] $\omga$ [/mm] liegt genau dann im limsup der Familie, wenn es in unendlich vielen [mm] $A_n$ [/mm] enthalten ist.
Denn angenommen, dieses [mm] $\omega$ [/mm] liegt in unendlich vielen [mm] $A_n$, [/mm] dann gibt es zu jedem festen $m$ ein $n [mm] \geq [/mm] m$ mit [mm] $\omega \in A_n$ [/mm] und damit liegt das [mm] $\omega$ [/mm] in der entsprechenden Vereinigung.
Umgekehrt: Falls dieses [mm] $\omega$ [/mm] nur in endlich vielen (oder keinem) [mm] $A_n$ [/mm] auftaucht, dann gibt es insbesondere ein $M [mm] \in \IN$, [/mm] so dass [mm] $\omega \notin A_n$ [/mm] für alle $n [mm] \geq [/mm] M$ und damit liegt es nicht in der entsprechenden Vereinigung, also auch nicht im Schnitt über diese.
Alles klar? Das was oben steht ist die Anschauung, die hinter dem Limsup einer Mengenfamilie stehen sollte: alle Elemente, die in unendlich vielen Mengen der Familie auftauchen.
Liebe Grüße,
Lars
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:12 Do 25.10.2007 | | Autor: | Gnometech |
Erneute Grüße!
Nur kurz eine Bemerkung zum lim inf von Mengen, der ja folgendermaßen definiert ist:
[mm] $\liminf A_n [/mm] = [mm] \bigcup_{m=1}^\infty \bigcap_{n=m}^\infty A_n$
[/mm]
Der Unterschied zum lim sup besteht darin, dass Vereinigung und Schnitt die Rollen getauscht haben.
Wie ist nun der lim inf zu verstehen? Für ihn gilt folgendes: Ein Element [mm] $\omega$ [/mm] liegt genau dann im lim inf der Familie [mm] $A_n$, [/mm] wenn er ab einem festen Index in jedem der [mm] $A_n$ [/mm] vorkommt, oder anders gesagt, wenn er nur in endlich vielen der [mm] $A_n$ [/mm] nicht vorkommt.
Den Beweis überlasse ich Dir. Nochmal zusammengefasst: Für ein Element [mm] $\omega$ [/mm] betrachtet man die Menge der Indizes, für die [mm] $\omega$ [/mm] in der entsprechenden Menge der Familie liegt:
[mm] $\{ n \in \IN : \omega \in A_n \}$
[/mm]
Dies ist eine Teilmenge von [mm] $\IN$. [/mm] Falls sie unendlich ist, gehört [mm] $\omega$ [/mm] zum lim sup der [mm] $A_n$. [/mm] Falls sie ko-endlich ist (also ihr Komplement endlich ist), gehört [mm] $\omega$ [/mm] zum lim inf. Insbesondere ist der lim inf i.A. echt im lim sup enthalten, denn jede ko-endliche Menge ist unendlich, aber nicht umgekehrt, denn es gibt unendliche Teilmengen von [mm] $\IN$ [/mm] mit unendlichem Komplement.
Alle Klarheiten beseitigt? Jetzt kannst Du vielleicht auch das Lemma von Borel-Cantelli verstehen... falls nicht: Einfach nochmal fragen. 
Liebe Grüße,
Lars
|
|
|
|
