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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Mo 23.01.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Zeige das
[mm] \{ \pmat{ A & B \\ C & D } \in M_{n \times n}(\IK) | A \in GL_{{n}_1} (\IK),D\in GL_{{n}_2} (\IK),B \in M_{n_1 \times n_2} (\IK) \}
[/mm]
eine Untergrppe von [mm] GL_n (\IK) [/mm] bildet. |
[mm] \{ \pmat{ A & B \\ C & D } , A , D invertierbar \} [/mm] Untergruppe von [mm] GL_n (\IK) [/mm]
1)
Sei Q = [mm] \pmat{ A & B \\ C & D } [/mm] mit A,D invertierbar
und P = [mm] \pmat{E& F \\ G& H } [/mm] mit E,H invertierbar
Q + P = [mm] \pmat{AE&AR+BH \\ 0& DH }
[/mm]
zuZeigen: AE und DH sind invertierbar.
Wie kann ich das zeigen?
2) Was ist das inverse der menge? bzw. wie kann ich die 2te eigenschaft der Untergruppe zeigen??
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> Zeige das
> [mm]\{ \pmat{ A & B \\
C & D } \in M_{n \times n}(\IK) | A \in GL_{{n}_1} (\IK),D\in GL_{{n}_2} (\IK),B \in M_{n_1 \times n_2} (\IK) \}[/mm]
anders formuliert
[mm]\{ \pmat{ A & B \\
C & D } \in M_{n \times n}(\IK)\quad |\quad det(A)\neq 0 ,det(D)\neq 0,B \in M_{n_1 \times n_2} (\IK) \}[/mm]
>
> eine Untergrppe von [mm]GL_n (\IK)[/mm] bildet.
> Sei Q = [mm]\pmat{ A & B \\
C & D }[/mm] mit A,D invertierbar
> und P = [mm]\pmat{E& F \\
G& H }[/mm] mit E,H invertierbar
>
> Q + P = [mm]\pmat{AE&AR+BH \\
\blue{0}& DH }[/mm]
Darf ich fragen, wie du auf die blaue 0 kommst und was R ist?
> zuZeigen: AE und DH sind
> invertierbar.
> Wie kann ich das zeigen?
Zeige, dass [mm] $det(Q+P)\neq [/mm] 0$ gilt.
>
> 2) Was ist das inverse der menge? bzw. wie kann ich die 2te
> eigenschaft der Untergruppe zeigen??
Du suchst zur Matrix [mm]\pmat{ A & B \\
C & D }[/mm] eine Blockmatrix [mm]\pmat{ A' & B' \\
C' & D' }[/mm] mit [mm]\pmat{ A & B \\
C & D }\star \pmat{ A' & B' \\
C' & D' }=\pmat{ 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
0& \cdots &1}[/mm]
>
>
>
Schreib doch mal bitte die Aufgabenstellung richtig hin. Geht nicht um
[mm]\{ \pmat{ A & B \\
\red{0}& D } \in M_{n \times n}(\IK)\quad |\quad det(A)\neq 0 ,det(D)\neq 0,B \in M_{n_1 \times n_2} (\IK) \}[/mm] mit der multiplikativen Verknüpfung?
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