Blechdosen < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Bei der Produktion von Blechdosen soll der Materialverbrauch möglichst gering sein. |
Hallo^^
Also ich soll hier den minimalen Materialverbrauch berechnen,d.h. in diesem Fall die Oberfläche eines Zylinders.
Hab mir zunächst die Formeln für den Zlinder angeschaut.
[mm] M=2*\pi*r*h
[/mm]
[mm] O=2*\pi*r^{2}+2*\pi*r*h
[/mm]
M nach h aufgelöst
[mm] h=\bruch{M}{2*\pi*r}
[/mm]
h in O eingesetzt ergibt:
[mm] O=2*\pi*r^{2}+M
[/mm]
aber irgendwie bringt mich das nciht weiter,weil ich wieder 2 Unbekannte hab??? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Mandy_90,
da fehlt noch eine Randbedingung, denn je kleiner Du die Dose machst, umso weniger Blech brauchst Du dazu. Ich nehme mal an, dass das Volumen der Dose gegeben sein soll und dann hast Du eine Extremwertaufgabe mit Randbedingung zu lösen.
Das Volumen der Dose ist
$$ V = [mm] \pi r^2 [/mm] h $$ und dann kommen Deine Bedingungen für die Mantelflächen dazu, die minimal sein sollen, um die Produktionskosten klein zu halten.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,also ich hab dann das Volumen
[mm] V=\pi*r^{2}*h
[/mm]
[mm] M=2*\pi*r*h
[/mm]
[mm] \bruch{M}{2*\pi*r}=h
[/mm]
[mm] V=\pi*r^{2}*\bruch{M}{2*\pi*r}
[/mm]
[mm] V=\bruch{r^{2}*M}{2*r}
[/mm]
[mm] V2r=r^{2}*M
[/mm]
2V=r*M
[mm] V=\bruch{Mr}{2}
[/mm]
Das setz ich in die Volumenformel ein:
[mm] \bruch{Mr}{2}=\pi*r^{2}*h
[/mm]
[mm] M=2*\pi*r*h
[/mm]
Toll,jetzt bin ich wieder auf die ganz normale Formel für die Mantelfläche gelandet =(
Wo liegt denn mein Fehler???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Mandy_90,
mach Dir doch erst mal klar, was Du machen willst und dann wirst Du sehen, dass der Rechenweg recht einfach ist.
Ich gehe hier für die Oberfläche mal von der Gleichung aus:
$$ O = 2 [mm] \pi [/mm] r h +2 [mm] \pi r^2 [/mm] $$
Mit Hilfe des Volumens
$$ V = 2 [mm] \pi [/mm] r h $$ kannst Du nun die Größe h eliminieren und Du bekommst für die Oberfläche eine Gleichung in r. Diese Gleichung soll minimal sein, wenig Kosten erzeugen. Also leite sie nach r ab und bestimme durch Nullsetzen das Minimum.
Für diesen Wert r ist dann die Oberfläche minimal bei vorgegebenem Volumen.
Viel Erfolg dabei,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Warum ist denn jetzt [mm] V=2*\pi*r*h
[/mm]
Das war doch [mm] V=\pi*r^{2}*h [/mm] ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Infinit |
Sorry, da habe ich mich vertippt. Klar ist es
$$ V = [mm] \pi r^2 [/mm] h [mm] \, [/mm] . $$
VG,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
okay,ich habs jetzt mal auf "2 Weisen" probiert.
1) V nach h auflösen und in Oberfläche einsetzen:
[mm] h=\bruch{V}{\pi*r^{2}}
[/mm]
[mm] O=2\pi*r^{2}+2V
[/mm]
[mm] O'(r)=4\pi*r+2=0
[/mm]
[mm] r=\bruch{-2}{4\pi}
[/mm]
da kommt aber was negatives für r raus,das kann ja nicht sein??
2)V von O abgezogen:
[mm] O=2\pi*r^{2}-r^{2}\pi
[/mm]
[mm] O=3\pi*r^{3}
[/mm]
[mm] O'(r)=9\pi*r=0
[/mm]
r=0
das kann aber auchnicht sein
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> 1) V nach h auflösen und in Oberfläche einsetzen:
>
> [mm]h=\bruch{V}{\pi*r^{2}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]O=2\pi*r^{2}+2V[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> [mm]O'(r)=4\pi*r+2=0[/mm]
(weil V gegeben ist und als konstant betrachtet werden kann, ist V' = 0 )
richtig wäre: [mm]O=2\pi*r^{2}+2\pi*r*h[/mm] (hattest du vorher schon)
hier könnte man eventuell [mm] 2\pi [/mm] ausklammern und schreiben:
[mm]O=2\pi*(r^{2}+r*h)[/mm]
Jetzt, also noch vor dem Ableiten, muss man die Nebenbedingung benützen,
um die Zielgrösse (hier also die Oberfläche, die minimiert werden soll)
durch eine einzige Variable darzustellen. Man hätte noch die Wahl, ob man
lieber mit r weiter rechnet und h eliminiert oder umgekehrt.
nehmen wir also mal den von dir angefangenen Weg:
Ersetzen wir in der Gleichung [mm]O=2\pi*r^{2}+2\pi*r*h[/mm]
das hier vorkommende h durch [mm]\bruch{V}{\pi*r^{2}}[/mm]
Dann haben wir die Oberfläche O als Funktion O(r) mit dem Radius r als einziger Variabler:
[mm]O(r) =2\pi*r^{2}+2\pi*r*\bruch{V}{\pi*r^{2}}[/mm]
Etwas vereinfacht (gekürzt):
[mm]O(r) =2\pi*r^{2}+2*\bruch{V}{r} = 2*(\pi*r^{2}+\bruch{V}{r}) [/mm]
Jetzt sind wir soweit, dass man die Ableitung bilden kann, um nachher aus
der Gleichung O'(r)=0 mögliche Kandidaten für allfällige Extremalstellen
zu ermitteln.
Tipp: vergiss dann aber nicht, dir auch klar zu machen, in welchem Bereich
der Radius überhaupt liegen darf, und ob vielleicht auch ein Extremum am
Rand des sinnvollen Bereichs auftreten könnte.
(noch eine Hilfe zur Kontrolle deiner Lösung: für die optimale Dose gilt 2 r = h,
das heisst der Durchmesser ist gleich der Höhe)
Viel Erfolg bei weiteren Aufgaben! al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 So 27.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
okay,man hat jetzt [mm] O=2*\pi*r^{2}+2*\bruch{V}{r}
[/mm]
[mm] O'(r)=4*\pi*r=0
[/mm]
r=0 ????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 So 27.04.2008 | | Autor: | Infinit |
Nein, so einfach ist es nicht. Du hast die Ableitung des zweiten Terms vergessen, indem so was wie [mm] \bruch{1}{r} [/mm] vorkommt. Auch das musst Du ableiten.
VG,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 So 27.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ist die Ableitung [mm] O'(r)=4*\pi*r-\bruch{V}{r^{2}}????
[/mm]
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> Ist die Ableitung [mm]O'(r)=4*\pi*r-\bruch{V}{r^{2}}????[/mm]
hi Mandy,
wo ist der Faktor 2 im zweiten Teil geblieben ?
(konstante Summanden fallen beim Ableiten weg, konstante Faktoren bleiben !)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 So 27.04.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ja,das hab ich so eben auch gemerkt,ich hoffe jetzt stimmts:
[mm] O'(r)=4\pi*r-\bruch{2v}{r^{2}}=0
[/mm]
[mm] 4\pi*r=\bruch{2v}{r^{2}}
[/mm]
[mm] 4\pi*r^{3}=2V
[/mm]
[mm] r=\wurzel[3]{\bruch{2V}{4\pi}} [/mm] ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 So 27.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !!
Gruß
Loddar
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> okay,man hat jetzt [mm]O=2*\pi*r^{2}+2*\bruch{V}{r}[/mm]
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> [mm]O'(r)=4*\pi*r=0[/mm] ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Vorsicht, die Variable r kommt auch im zweiten Summanden vor !
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