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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Sa 04.12.2010 | | Autor: | daisy23 |
| Aufgabe | Die Zufallsvariablen [mm] X_{1} [/mm] und [mm] X_{2} [/mm] seien gemeinsam normalverteilt und der Zufallsvektor besitzt die Dichte
[mm] f(x)=\bruch{1}{2\pi\wurzel{1-p^{2}}}exp(-\bruch{1}{2(1-p^{2})}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2px_{1}x_{2})) [/mm] , [mm] x=(x_{1},x_{2})^^{T}\in \IR^{2} [/mm] mit [mm] E_{P}[X_{i}]=0, Var_{P}[X_{i}]=1, [/mm] i=1,2 und [mm] Cov_{P}[X_{1},X_{2}]=p\in(-1,1).
[/mm]
Berechnen Sie die bedingte Erwartung [mm] E_{P}[S_{2}^{1}|S_{1}^{1}] [/mm] für einen preisprozess der Form
[mm] S_{t}^{1}:=S_{0}^{1}exp(\summe_{k=1}^{t}(\delta_{k}X_{k}+\mu_{k})), [/mm] t=0,1,2, mit Konstanten [mm] S_{0}^{1}>0, \delta_{k}>0 [/mm] und [mm] \mu_{k}\in\IR, [/mm] k=1,2. |
Hallo,
Ich versuche seit Stunden diese Aufgabe zu lösen, ich weiß dass
[mm] E[X_{2}|X_{1}] =\integral_{\IR} x_{1}{f_{X_{2}|X_{1}}(x_{1},x_{2}) dx_{1}}=pX_{1} [/mm] ist, wobei [mm] f_{X_{2}|X_{1}}(x_{1},x_{2})=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}\wurzel{1-p^{2}}}exp(-\bruch{1}{2(1-p^{2})}(x_{2}-px_{1})^2). [/mm] Nun komme ich nicht weiter, könnt ihr mir bitte helfen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
es ist nicht so ganz klar, was [mm] $X_0$, $\delta_0$ [/mm] und [mm] $\mu_0$ [/mm] sein sollen, ich nehm mal an [mm] $X_0=0$, $\mu_0=0$
[/mm]
[mm] $S_2=S_1*e^{\mu_2}e^{\delta_2X_2}$
[/mm]
Also ist [mm] $E(S_2|S_1)=S_1*e^{\mu_2}*E(e^{\delta_2 X_2}|S_1)$
[/mm]
Desweiteren
[mm] $S_1=S_0+S_0e^{\mu_1}e^{\delta_1 X_1}$
[/mm]
d.h. Du brauchst
[mm] $E\left(e^{\delta_2 X_2}\ |\ e^{\delta_1X_1}\right)$
[/mm]
und dafür brauchst Du die gemeinsame Verteilung von [mm] $(e^{\delta_2 X_2},e^{\delta_1X_1})$
[/mm]
[mm] $(\delta_1 X_1, \delta_2 X_2)$ [/mm] ist 2-dim normalverteilt, davon komponentenweise die Exponentialfunktion genommen ergibt eine 2-dim Lognormalverteilung. Wenn Du mal auf die deutsche Wikipedia schaust, dann haben die was zu der im Artikel zur Lognormalverteilung.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Sa 04.12.2010 | | Autor: | daisy23 |
Danke nochmal für die Hilfe:)
Mir ist nur nicht verständlich, warum [mm] S_{1}=S_{0}+S_{0}exp(\delta_{1}X_{1}+\mu_{1}) [/mm] anstatt [mm] S_{1}=S_{0}exp(\delta_{1}X_{1}+\mu_{1})
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
weil ich ein Trottel bin und nicht geschaut habe, bei welchem Index die Summe anfängt, nur daß sie bis t geht und t=0,1,2 sein kann.
Zu meiner Verteidigung, normalerweise sind die Summationsindizes in Fragen hier nur eine unverbindliche Preisempfehlung. =)
Du hast absolut recht. Der Summand für k=0 existiert nicht.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 So 05.12.2010 | | Autor: | daisy23 |
Nun habe ich:
[mm] E[X_{2}|X_{1}]=\integral_{\IR}{x_{1} exp(-\bruch{1}{2(1-p^{2})}(\bruch{ln(x_{2})}{\delta_{2}}-\bruch{ln(x_{1})}{\delta_{1}}p)^2)dx_{1}}= \bruch{ln(x_{1})}{\delta_{1}}p
[/mm]
Also insgesamt:
[mm] E[S_{2}|S_{1}]=S_{1}exp(\mu_{2})\bruch{ln(x_{1})}{\delta_{1}}p
[/mm]
Nun würde ich wissen, ob das so korrekt ist.
liebe grüße...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 So 05.12.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
wieso setzt Du für $ [mm] E\left(e^{\delta_2 X_2}\ |\ e^{\delta_1X_1}\right) [/mm] $ einfach [mm] $E(X_2|X_1)$ [/mm] ein?!
ciao
Stefan
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:22 So 05.12.2010 | | Autor: | daisy23 |
Na ja ich dachte, da
[mm] (X_{1},X_{2}) [/mm] gemeinsam Normalverteilt und [mm] (e^{\delta_{1}X_{1}},e^{\delta_{2}X_{2}}) [/mm] gemeinsam Lognormalverteilt sind, gilt somit für [mm] X_{1}=\bruch{ln(x_{1})}{\delta_{1}} [/mm] und [mm] X_{2}=\bruch{ln(x_{2})}{\delta_{2}} [/mm]
liebe grüße...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 07.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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