Binomischer Satz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:53 Di 17.10.2006 | | Autor: | belgarda |
| Aufgabe | | Man zeige: Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [(2+\wurzel{3})^n -(2-\wurzel{3})^n] \in \IN [/mm] |
Hallo, wir haben gerade den binomischen Satz angesprochen, weshalb ich vermute, dass die Behauptung auch mit dem binomischen Satz zu beweisen ist. Leider hab ich keine Ahnung, wie man vom binomischen Lehrsatz in der Aufgabe auf natürliche Zahlen schließen kann.
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen! Vielen Dank schonmal.
Ich habe diese Frage in kein anderes Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Di 17.10.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo! (Hast du auch einen Namen? ;) )
Der binomische Satz besagt die Gültigkeit der Gleichung
[mm] $(a+b)^n [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n} \vektor{n\\ k} a^k b^{n-k}$
[/mm]
für beliebige reelle $a,b$ und [mm] $n\in {\mathbb N}$.
[/mm]
In dem dir gegebenen Term sind zwei Ausdrücke vorhanden, welche sich nach obiger Identität ersetzen lassen. Versuche diese Ersetzungen vorzunehmen und die dabei entstehenden Summen zusammenzufassen. Dann solltest du schon weiterkommen.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Mo 23.10.2006 | | Autor: | belgarda |
Danke für deine Antwort, sie leuchtet mir auch ein. Kann man dann einfach ableiten, dass der binomiale Satz für natürliche Zahlen gilt?
Ich wandele also die Ausdrücke in den Klammern um. Aber wie komme ich auf das k? Ich habe ja das n auch in der zu beweisenden Formel, aber wie bekomme ich das k raus? Wie ermittelt man den Wert?
|
|
|
| |
|
So ganz scheinst du das noch nicht verstanden zu haben. Das [mm]k[/mm] ist ein Laufindex (hier der Summationsindex). Das ist eine spezielle gebundene Variable. Man kann [mm]k[/mm] also nicht "herausbekommen". Vielmehr durchläuft [mm]k[/mm] nacheinander die Werte von [mm]0[/mm] bis [mm]n[/mm]. Vielleicht hilft es dir, wenn du dir die Formel ohne das Summenzeichen hinschreibst. Ein anderes Beispiel:
[mm]\sum_{k=0}^n~k^2 \ = \ 0^2 + 1^2 + 2^2 + \ldots + (n-1)^2 + n^2[/mm]
alternativer Zugang
Für die Aufgabe bietet sich auch ein Induktionsbeweis an. Wenn einem nämlich auffällt, daß für [mm]\omega = 2 + \sqrt{3}[/mm] gerade [mm]\omega^{-1} = 2 - \sqrt{3}[/mm] gilt, kann man den fraglichen Ausdruck auch so notieren:
[mm]a_n = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \omega^n - \omega^{-n} \right)[/mm]
Und im Induktionsschritt verwende man:
[mm]\frac{1}{\sqrt{3}} \left( \omega^{n+1} - \omega^{-(n+1)} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \left( \omega^n - \omega^{-n} \right) \cdot \left( \omega + \omega^{-1} \right) - \left( \omega^{n-1} - \omega^{-(n-1)} \right) \right)[/mm]
Das ist letztlich nichts anderes als eine Rekursionsbeziehung über [mm]\mathbb{Z}[/mm]:
[mm]a_{n+1} = 4 a_n - a_{n-1}[/mm]
Wenn jetzt auch noch die Startwerte [mm]a_0,a_1[/mm] ganzzahlig sind, ist man fertig.
|
|
|
|
