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| Aufgabe | Beweisen Sie unter Verwendung des binomischen Lehrsatzes für beliebige positive reelle Zahlen a, b und n [mm] \in \IN [/mm] die Ungleichungen
[mm] |\wurzel[n]{a} [/mm] - [mm] \wurzel[n]{b}| \le \wurzel[n]{|a - b|} \le \wurzel[n]{a + b} \le \wurzel[n]{a} [/mm] + [mm] \wurzel[n]{b} [/mm] |
1. Teil: (mit Quadrierung des Betrages)
[mm] |\wurzel[n]{a} [/mm] - [mm] \wurzel[n]{b}| [/mm] = [mm] a^{\bruch{2}{n}} [/mm] - 2 [mm] a^{\bruch{1}{n}} b^{\bruch{1}{n}} [/mm] + [mm] b^{\bruch{2}{n}} \le \summe_{k=0}^{\bruch{2}{n}} \vektor{\bruch{2}{n} \\ k} a^{k} (-b)^{n - k} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{|a - b|}
[/mm]
2. Teil:
[mm] \wurzel[n]{|a - b|} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\bruch{2}{n}} \vektor{\bruch{2}{n} \\ k} a^{k} (-b)^{n - k} \le \summe_{k=0}^{\bruch{1}{n}} \vektor{\bruch{1}{n} \\ k} a^{k} b^{n - k} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{a + b} [/mm]
3. Teil:
[mm] \wurzel[n]{a + b} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\bruch{1}{n}} \vektor{\bruch{1}{n} \\ k} a^{k} b^{n - k} \le \wurzel[n]{a} [/mm] + [mm] \wurzel[n]{b}
[/mm]
Das ist mein Lösungsweg. Jedoch bin ich mir unsicher, ob er mathematisch korrekt bzw. nachvollziehbar ist, und ich hierbei alles richtig angewendet habe. Ich bin für jede Hilfe dankbar. :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Mi 24.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie unter Verwendung des binomischen Lehrsatzes
> für beliebige positive reelle Zahlen a, b und n [mm]\in \IN[/mm]
> die Ungleichungen
> [mm]|\wurzel[n]{a}[/mm] - [mm]\wurzel[n]{b}| \le \wurzel[n]{|a - b|} \le \wurzel[n]{a + b} \le \wurzel[n]{a}[/mm]
> + [mm]\wurzel[n]{b}[/mm]
> 1. Teil: (mit Quadrierung des Betrages)
> [mm]|\wurzel[n]{a}[/mm] - [mm]\wurzel[n]{b}|[/mm] = [mm]a^{\bruch{2}{n}}[/mm] - 2
> [mm]a^{\bruch{1}{n}} b^{\bruch{1}{n}}[/mm] + [mm]b^{\bruch{2}{n}} \le \summe_{k=0}^{\bruch{2}{n}} \vektor{\bruch{2}{n} \\ k} a^{k} (-b)^{n - k}[/mm]
> = [mm]\wurzel[n]{|a - b|}[/mm]
> 2. Teil:
> [mm]\wurzel[n]{|a - b|}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{\bruch{2}{n}} \vektor{\bruch{2}{n} \\ k} a^{k} (-b)^{n - k} \le \summe_{k=0}^{\bruch{1}{n}} \vektor{\bruch{1}{n} \\ k} a^{k} b^{n - k}[/mm]
> = [mm]\wurzel[n]{a + b}[/mm]
> 3. Teil:
> [mm]\wurzel[n]{a + b}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{\bruch{1}{n}} \vektor{\bruch{1}{n} \\ k} a^{k} b^{n - k} \le \wurzel[n]{a}[/mm]
> + [mm]\wurzel[n]{b}[/mm]
>
> Das ist mein Lösungsweg. Jedoch bin ich mir unsicher, ob
> er mathematisch korrekt bzw. nachvollziehbar ist, und ich
> hierbei alles richtig angewendet habe. Ich bin für jede
> Hilfe dankbar. :)
>
Das stimmt alles nicht. Der binomische Satz [mm] (x+y)^n [/mm] = ... gilt nur für Exponenten n [mm] \in \IN.
[/mm]
FRED
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Alles klar, hast du einen Tipp, wie ich an das Ganze herangehen soll?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Mi 24.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm die Ungleichungen hoch n oder 2n
gruss leduart
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