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| Aufgabe | Binomischer Lehrsatz: Es gilt für [mm] $p\in[0,1]$ [/mm] und [mm] $n\in\IN$:
[/mm]
[mm] $\sum_{\omega=0}^n \vektor{n \\ \omega}p^\omega\cdot(1-p)^{n-\omega} [/mm] = 1$
Man zeige mir bitte, warum mein konkretes Beispiel (siehe unten) nicht funktioniert ...  |
Hallo liebes Forum,
ich wollte mir ein konkretes Beispiel zum Binomischen Lehrsatz konstruieren, aber hänge irgendwie fest. Ich setze also als Beispiel:
$n := 4$
$p := [mm] \frac{1}{4}$
[/mm]
$q := 1-p = [mm] \frac{3}{4}$.
[/mm]
Nun rechne ich zunächst die (Sub-)Terme [mm] $p^\omega\cdot q^{n-\omega}$ [/mm] gemäß obigem Lehrsatz aus:
[mm] $\omega [/mm] = 0$: [mm] $1\cdot(\frac{3}{4})^4 [/mm] = [mm] \frac{3^4}{4^4} [/mm] = [mm] \frac{81}{256}$
[/mm]
[mm] $\omega [/mm] = 1$: [mm] $\frac{1}{2}\cdot(\frac{3}{4})^3 [/mm] = [mm] \frac{1}{2}\cdot\frac{27}{64} [/mm] = [mm] \frac{27}{128}$
[/mm]
[mm] $\omega [/mm] = 2$: [mm] $(\frac{1}{2})^2\cdot(\frac{3}{4})^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{4}\cdot\frac{9}{16} [/mm] = [mm] \frac{9}{64}$
[/mm]
[mm] $\omega [/mm] = 3$: [mm] $(\frac{1}{2})^3\cdot(\frac{3}{4})^1 [/mm] = [mm] \frac{1}{8}\cdot\frac{3}{4} [/mm] = [mm] \frac{3}{32}$
[/mm]
[mm] $\omega [/mm] = 4$: [mm] $(\frac{1}{2})^4\cdot [/mm] 1 = [mm] \frac{1}{16}$
[/mm]
Ich erhalte also folgende Faktoren (auf gleichen Nenner gebracht):
[mm] $\frac{81}{256}$, $\frac{54}{256}$, $\frac{36}{256}$, $\frac{24}{256}$, $\frac{16}{256}$.
[/mm]
Mit den Koeffizienten 1,4,6,4,1 (die man z.B. mittels Pascalsches Dreieck erhält) sollte doch nun nach dem BL gelten:
[mm] $1\cdot\frac{81}{256} [/mm] + [mm] 4\cdot\frac{54}{256} [/mm] + [mm] 6\cdot\frac{36}{256} [/mm] + [mm] 4\cdot\frac{24}{256} [/mm] + [mm] 1\cdot\frac{16}{256} [/mm] =^! 1$.
Das tut es aber offensichtlich nicht?! Kann mir jemand sagen, wo mein Denk-, Verständnis- oder Rechenfehler ist?
Vielen lieben Dank im Voraus!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Do 22.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Binomischer Lehrsatz: Es gilt für [mm]p\in[0,1][/mm] und [mm]n\in\IN[/mm]:
>
> [mm]\sum_{\omega=0}^n \vektor{n \\ \omega}p^\omega\cdot(1-p)^{n-\omega} = 1[/mm]
>
> Man zeige mir bitte, warum mein konkretes Beispiel (siehe
> unten) nicht funktioniert ...
> Hallo liebes Forum,
>
> ich wollte mir ein konkretes Beispiel zum Binomischen
> Lehrsatz konstruieren, aber hänge irgendwie fest. Ich
> setze also als Beispiel:
>
> [mm]n := 4[/mm]
> [mm]p := \frac{1}{4}[/mm]
> [mm]q := 1-p = \frac{3}{4}[/mm].
>
> Nun rechne ich zunächst die (Sub-)Terme [mm]p^\omega\cdot q^{n-\omega}[/mm]
> gemäß obigem Lehrsatz aus:
>
> [mm]\omega = 0[/mm]: [mm]1\cdot(\frac{3}{4})^4 = \frac{3^4}{4^4} = \frac{81}{256}[/mm]
>
> [mm]\omega = 1[/mm]: [mm]\frac{1}{2}\cdot(\frac{3}{4})^3 = \frac{1}{2}\cdot\frac{27}{64} = \frac{27}{128}[/mm]
>
> [mm]\omega = 2[/mm]: [mm](\frac{1}{2})^2\cdot(\frac{3}{4})^2 = \frac{1}{4}\cdot\frac{9}{16} = \frac{9}{64}[/mm]
>
> [mm]\omega = 3[/mm]: [mm](\frac{1}{2})^3\cdot(\frac{3}{4})^1 = \frac{1}{8}\cdot\frac{3}{4} = \frac{3}{32}[/mm]
>
> [mm]\omega = 4[/mm]: [mm](\frac{1}{2})^4\cdot 1 = \frac{1}{16}[/mm]
>
> Ich erhalte also folgende Faktoren (auf gleichen Nenner
> gebracht):
>
> [mm]\frac{81}{256}[/mm], [mm]\frac{54}{256}[/mm], [mm]\frac{36}{256}[/mm],
> [mm]\frac{24}{256}[/mm], [mm]\frac{16}{256}[/mm].
>
> Mit den Koeffizienten 1,4,6,4,1 (die man z.B. mittels
> Pascalsches Dreieck erhält) sollte doch nun nach dem BL
> gelten:
>
> [mm]1\cdot\frac{81}{256} + 4\cdot\frac{54}{256} + 6\cdot\frac{36}{256} + 4\cdot\frac{24}{256} + 1\cdot\frac{16}{256} =^! 1[/mm].
>
> Das tut es aber offensichtlich nicht?! Kann mir jemand
> sagen, wo mein Denk-, Verständnis- oder Rechenfehler ist?
Du rechnest hier
[mm]\omega = 1[/mm]: [mm]\frac{1}{2}\cdot(\frac{3}{4})^3 = \frac{1}{2}\cdot\frac{27}{64} = \frac{27}{128}[/mm]
>
> [mm]\omega = 2[/mm]: [mm](\frac{1}{2})^2\cdot(\frac{3}{4})^2 = \frac{1}{4}\cdot\frac{9}{16} = \frac{9}{64}[/mm]
>
> [mm]\omega = 3[/mm]: [mm](\frac{1}{2})^3\cdot(\frac{3}{4})^1 = \frac{1}{8}\cdot\frac{3}{4} = \frac{3}{32}[/mm]
>
> [mm]\omega = 4[/mm]: [mm](\frac{1}{2})^4\cdot 1 = \frac{1}{16}[/mm]
immer mit $ p = [mm] \frac{1}{2} [/mm] $ statt mit $ p = [mm] \frac{1}{4} [/mm] $
FRED
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> Vielen lieben Dank im Voraus!!
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Oh mann ... jetzt sehe ich das auch - Dass mir das nichtmal beim Eintippen aufgefallen ist :/
Ich danke Dir vielmals!
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