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Binomische Formel: aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:20 Mi 09.02.2005
Autor: ibi

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ k}=2^n [/mm]
kann mir bitte jd sagen wie man das hier mit vollständige induktion beweisen kann.
habe nämlich keine ahnung!



        
Bezug
Binomische Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:02 Mi 09.02.2005
Autor: Youri


>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gut für Dich :-)

Hallo Ibi -

[willkommenmr]

> [mm]\summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ k}=2^n [/mm]
>  habe nämlich keine ahnung!

Zunächst mal:
Um Dir einen Einblick in die Vorgehensweise zu erleichtern,
empfehle ich Dir einen Blick in die Mathebank unter dem Stichwort MBInduktion.

Du musst also die Gültigkeit dieser Aussage zunächst für
[mm]n=0[/mm] nachprüfen.


Induktionsanfang
[mm]\summe_{k=0}^{0} \vektor{0 \\ k}=\vektor{0 \\ 0}= \bruch {0!}{0!*(0-0)!}=1=2^0[/mm]

Stümmt. Das ist eine wahre Aussage.
Ich würde Dir empfehlen zur Einübung der Summenschreibweise und zur Übung der Berechnung des Binomialkoeffizienten dasselbe mal mit [mm]n=1[/mm] zu probieren.

So. Jetzt kommt der
Induktionsschritt

Annahme: Diese Aussage ist richtig für [mm]n \in \IN[/mm].
z.z. [mm]n \rightarrow n+1 [/mm]

[mm]\summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k} =2^{n+1}[/mm]

mit [mm]2^{n+1}=2^n*2=2^n+2^n [/mm]

Dein Ziel ist, folgende Gleichheit erkennbar zu machen:

[mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}+\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}= \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k} [/mm]

Ich schreib mal nur die linke Seite der Gleichung auf:

[mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}+\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm]

Jetzt ziehst Du die Summanden für k=0 aus dem ersten Summenzeichen, und für k=n aus dem zweiten Summenzeichen heraus.

[mm]\vektor{n \\ 0} + \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k}+\summe_{k=0}^{n-1} \vektor{n \\ k} +\vektor{n \\ n} [/mm]

Nun nutzt Du folgende Beziehung und machst eine sogenannte Indexverschiebung...

[mm]\summe_{k=0}^{n}{a_k}=\summe_{k=1}^{n+1} {a_{k-1}}[/mm]
Probier's mal aus - die Summanden bleiben gleich

Dann gilt:
[mm] = \vektor{n \\ 0} + \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k}+\summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k-1} +\vektor{n \\ n} [/mm]

Da die Summenzeichen nun über dieselben Indizes laufen, kannst Du sie zusammenziehen... -entschuldige die Sprache, ist schon spät ;-)

[mm] = \vektor{n \\ 0} + \summe_{k=1}^{n}\left( \vektor{n \\ k}+ \vektor{n \\ k-1} \right)+\vektor{n \\ n} [/mm]

Mit [mm] \vektor{n \\ 0}= \vektor{n \\ n} =1 [/mm] und
[mm]\vektor{n \\ k}+ \vektor{n \\ k-1}=\vektor{n+1\\k} [/mm]
Letzteres kannst Du mithilfe der Formeln zur Berechnung des MBBinomialkoeffizienten nachrechnen

folgt:
[mm] = 1 + \summe_{k=1}^{n} \vektor{n+1 \\ k} + 1 [/mm]

Noch'n Trick -

[mm]= \vektor{n+1\\0} + \summe_{k=1}^{n} \vektor{n+1 \\ k} + \vektor {n+1\\n+1} [/mm]

[mm]= \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k}[/mm]

*seufz*

Liebe Grüße und [gutenacht]
Andrea.



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