Binominalkoeffizient < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 So 28.10.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo zusammen!
Ich habe folgende Aufgaben zu bearbeiten!
Zeige durch direkte Rechnung, dass für m,n [mm] \in \IN [/mm] mit m<n gilt:
a) [mm] \vektor{m \\ k} [/mm] < [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] für k [mm] \in [/mm] {1,....n}
b) [mm] \bruch{1}{m^{k}} \vektor{m \\ k} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n^{k}} \vektor{n \\ k} [/mm] < [mm] \bruch{1}{k!} \le \bruch{1}{2^{k-1}} [/mm] für k [mm] \in [/mm] {2,....n}
c) ( 1+ [mm] \bruch{1}{m} )^m [/mm] < ( 1+ [mm] \bruch{1}{n} )^n [/mm] bei c sollen wir b und den binomischen Lehrsatz verwenden!
Also ich habe bis jetzt nur was zu a aber ich denke auch nicht vollständig
Ich habe [mm] \vektor{m \\ k} [/mm] um geschrieben zu [mm] \bruch{m(m-1)*....*(m-k+1)}{k!} [/mm] und [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] analog
dann habe ich [mm] \bruch{m(m-1)*...*(m-k+1)}{k!} [/mm] < [mm] \bruch{n(n-1)*....*(n-k+1)}{k!} [/mm] jetzt mit k! multipliziert da k>0 ist verändert sich das Relationszeichen nicht.
Dann habe ich m(m-1)*....*(m-k+1) < n(n-1)*....*(n-k+1)
Jetzt sieht man eigentlich das die linke seite kleiner sein muss wie die rechte da m<n ist...aber wie schreibe ich das konkret auf?
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 So 28.10.2007 | | Autor: | cloui |
hey,
so weit wie du bin ich auch, allerdings leider auch nicht weiter :D
aber muss da nicht $ [mm] \bruch{m(m-1)\cdot{}....\cdot{}(m-k-1)}{k!} [/mm] $ stehen, da aus (m-(k+1)) (m-k-1) folgt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 So 28.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
[mm] \vektor{n \\ k}=\bruch{n!}{k!(n-k)!}
[/mm]
Ihr habt im Nenner immer etwas weggelassen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 So 28.10.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hi das ist eine umformung:
[mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{n(n-1)*....*(n-k+1)}{k!} [/mm] Beides ergibt das selbe
Gruß
David
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 So 28.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Ah, ok, sorry. Nicht dran gedacht ;)
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Heißt das denn jetzt, dass wir bei der ersten Aufgabe nun folgendes haben?
[mm] \vektor{m \\ k} [/mm] < [mm] \vektor{n \\ k}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{m!}{(m-k!)k!} [/mm] < [mm] \bruch{n!}{(n-k!)k!} [/mm] dann multiplieziere ich mit k! und erhalte
[mm] \bruch{m!}{m-k!} [/mm] < [mm] \bruch{n!}{n-k!} [/mm]
Aber in der Aufgabenstellung steht doch zeige durch direkte Rechnung. Was ist denn daran bitte direkte Rechnung?
Grüße Tanzmaus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Mo 29.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Heißt das denn jetzt, dass wir bei der ersten Aufgabe nun
> folgendes haben?
>
> [mm]\vektor{m \\ k}[/mm] < [mm]\vektor{n \\ k}[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{m!}{(m-k!)k!}[/mm]
> < [mm]\bruch{n!}{(n-k!)k!}[/mm] dann multiplieziere ich mit k! und
> erhalte
> [mm]\bruch{m!}{m-k!}[/mm] < [mm]\bruch{n!}{n-k!}[/mm]
bis hierher hast du ja noch kaum was gerechnet.
schreibs mal etwa für m=4, n=6 aus, dann siehst du dass du einiges kürzen kannst. dann mach das allgemein. z. Bsp für n=m+k k>0
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 So 28.10.2007 | | Autor: | cloui |
ich hab mich mal an die 2 rangetraut. ich hoffe das stimmt so:
[mm] \bruch{1}{m^{k}}\vektor{m \\ k}
[/mm]
= [mm] \bruch{m(m-1)*...*(m-(k-1))}{k!}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{k!}(1-\bruch{1}{m})(1-\bruch{2}{m})*...*(1-\bruch{k-1}{m})
[/mm]
[mm] <\bruch{1}{k!}(1-\bruch{1}{n})(1-\bruch{2}{n})*...*(1-\bruch{k-1}{n})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{n^{k}}\vektor{n \\ k}
[/mm]
< [mm] \bruch{1}{k!}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{1*2*3*...*k}
[/mm]
[mm] \le\bruch{1}{1*2*2*...*2}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2^{k-1}}
[/mm]
ist das richtig so?
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deine erste folgerung stimmt schon nicht dein [mm] \bruch{1}{m^{k}} [/mm] ist verschwunden ;)...aber der rest sieht gut aus..:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 So 28.10.2007 | | Autor: | cloui |
upss sorry, hatte ich vergessen hinzuschreiben :) im heft hab ichs aber, na das is ja wenigstens mal ein kleiner erfolg ^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Sa 22.12.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo!
Ich kann den Weg zwar nachvollziehen den cloui gewählt hat aber ich hätte eine andere alternative und wollte fragen ob das auch so geht:
Also nach Vorraussetzung wissen wir dass m<n ist.
m<n
[mm] \Rightarrow [/mm] m-1<n-1
[mm] \Rightarrow [/mm] m(m-1)<n(n-1)
[mm] \Rightarrow [/mm] m(m-1)(m-2)<n(n-1)(n-2)
[mm] \Rightarrow [/mm] m(m-1)(m-2)*...*(m-k+1)<n(n-1)(n-2)*...*(n-k+1)
[mm] \Rightarrow \bruch{m(m-1)(m-2)*...*(m-k+1)}{k!}< \bruch{n(n-1)(n-2)*...*(n-k+1)}{k!}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{m^{k}}*\bruch{m(m-1)(m-2)*...*(m-k+1)}{k!}< \bruch{1}{n^{k}}*\bruch{n(n-1)(n-2)*...*(n-k+1)}{k!}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{m^{k}}\vektor{m \\ k}<\bruch{1}{n^{k}}\vektor{n\\ k}
[/mm]
Bei den vorletzten schritt bin ich mir da nicht so ganz sicher da wenn man [mm] \bruch{1}{m^{k}} [/mm] und [mm] \bruch{1}{n^{k}} [/mm] einzeln betrachtet das ja nicht stimmen kann oder?
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Sa 22.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also nach Vorraussetzung wissen wir dass m<n ist.
>
> m<n
> [mm]\Rightarrow[/mm] m-1<n-1
> [mm]\Rightarrow[/mm] m(m-1)<n(n-1)
> [mm]\Rightarrow[/mm] m(m-1)(m-2)<n(n-1)(n-2)
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> m(m-1)(m-2)*...*(m-k+1)<n(n-1)(n-2)*...*(n-k+1)
> [mm]\Rightarrow \bruch{m(m-1)(m-2)*...*(m-k+1)}{k!}< \bruch{n(n-1)(n-2)*...*(n-k+1)}{k!}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{m^{k}}*\bruch{m(m-1)(m-2)*...*(m-k+1)}{k!}< \bruch{1}{n^{k}}*\bruch{n(n-1)(n-2)*...*(n-k+1)}{k!}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{m^{k}}\vektor{m \\ k}<\bruch{1}{n^{k}}\vektor{n\\ k}[/mm]
>
> Bei den vorletzten schritt bin ich mir da nicht so ganz
> sicher da wenn man [mm]\bruch{1}{m^{k}}[/mm] und [mm]\bruch{1}{n^{k}}[/mm]
> einzeln betrachtet das ja nicht stimmen kann oder?
Ja, denn [mm]\bruch{1}{m^{k}}>\bruch{1}{n^{k}}[/mm], da darfst du so nicht argumentieren.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Sa 22.12.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo!
Danke für die Antwort:
Wie komme ich denn von hier:
> > [mm]\Rightarrow \bruch{1}{m^{k}}*\bruch{m(m-1)(m-2)*...*(m-k+1)}{k!}< \bruch{1}{n^{k}}*\bruch{n(n-1)(n-2)*...*(n-k+1)}{k!}[/mm]
na da???
> > [mm]\Rightarrow \bruch{1}{m^{k}}\vektor{m \\ k}<\bruch{1}{n^{k}}\vektor{n\\ k}[/mm]
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Sa 22.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wie komme ich denn von hier:
> > > [mm]\Rightarrow \bruch{1}{m^{k}}*\bruch{m(m-1)(m-2)*...*(m-k+1)}{k!}< \bruch{1}{n^{k}}*\bruch{n(n-1)(n-2)*...*(n-k+1)}{k!}[/mm]
>
> na da???
>
> > > [mm]\Rightarrow \bruch{1}{m^{k}}\vektor{m \\ k}<\bruch{1}{n^{k}}\vektor{n\\ k}[/mm]
Das ist doch beides Mal dasselbe:
[mm] \bruch{m(m-1)(m-2)*\dots*(m-k+1)}{k!} = \vektor{m \\ k} [/mm].
Was ich meinte, ist, dass du aus
[mm] \vektor{m \\ k} < \vektor{n\\ k}[/mm]
geschlossen hast, dass
[mm] \bruch{1}{m^{k}}*\vektor{m \\ k} < \bruch{1}{n^{k}}*\vektor{n\\ k}[/mm]
ist, und dieser Schluss ist nicht korrekt. (Du kannst nur in der umgekehrten Richtung schließen, da m<n).
Du musst schon von
[mm] \bruch{1}{m^{k}}*\vektor{m \\ k} = \bruch{1}{m^{k}}* \bruch{m(m-1)(m-2)*\dots*(m-k+1)}{k!} = \bruch{1}{k!} * 1 * \left(1-\bruch{1}{m}\right)*\left(1-\bruch{2}{m}\right)*\dots* \left(1-\bruch{m-k+1}{m}\right) [/mm]
ausgehen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 So 28.10.2007 | | Autor: | cloui |
upps sorry, hatte mich vertan, hast recht :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 So 28.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du fängst an mit
m<n daraus m-1<n-1 daraus m*(m-1)<n*(n-1) usw Induktion bis n-k+1
oder aus m<n folgt n=m+l [mm] l\ge1, l\in \IN [/mm] und setzest einfach ein.
Im allgemeinen kannst du beim Beweis von Ungleichungen nicht mit der Behauptung anfangen und sie umformen, sondern musst die Formel aus dem was die Vors ist rauskriegen.
hier: m<n daraus m*(m-1)<n*(n-1) daraus .... schließlich durch k! dividieren und du bist bei deiner Formel.
Selbst wenn dus anderrum rechnest, solltest dus am Schluss umgekehrt aufschreiben, Weil ja sicher sein muss, dass jeder Schritt auch rück wärts geht!
(Aus falschen Behauptungen kann man nämlich auch richtiges Schliessen:
Beispiel: -2=2 die Gleichung mit der Gleichung -2=2 multipliziern ergibt 4=4 richtig, also ist auch -2=2 richtig
Wenn du denkst das liegt am Multiplizieren : subtrahier die 2 Gleichungen voneinander und due hast 0=0 ist richtig.)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 So 28.10.2007 | | Autor: | CON40 |
Und wie würdest Du das dann auf solche art und weise für die b und die c machen??Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 So 28.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
b erst mal in Fakultäten umschreiben,
bei c dem guten Rat folgen!
Gruss leduart
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