Binomialverteilung W'keiten < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 Do 13.03.2008 | | Autor: | Schobbi |
| Aufgabe | Bei einer Untersuchung der letzten Wahl stellte ein Meinungsforschungsinstitut fest, dass 25% der Wahlberechtigten nicht gewählt haben. Wie groß ist die W'keit dafür, dass von 100 wahlberechtigten Personen
a) höchstens 30
b) mehr als 30 und weniger als 40 nicht gewählt haben
c) Wie groß muss eine Gruppe von Wahlberechtigten mindestens sein, damit mit mehr als 98%iger W'keit wenigstens eine Person darunter ist, die ncith andder der Wahl teilgenommen hat? |
Hallo zusammen!
Eigentlich scheint die o.g. Aufgabe ja relativ einfach zu sein, denn Aufgabenteil a) und b) kann ich ja einfach aus der entsprechenden Spalte der Binomialtabelle ablesen, aber bei Aufgabenteil c) komm ich ins stocken.
Wenn ich es richtig verstanden habe ist hier n gesucht und ich müsste die Werte "rückwärts" aus der Tabelle ablesen, oder? Aber irgendwie komm ich da auf keinen grünen Zweig, vielleicht könntet ihr mir da helfen. Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 Do 13.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
> a) und b) kann ich ja einfach aus der entsprechenden Spalte der Binomialtabelle ablesen
Ja.
> Wenn ich es richtig verstanden habe ist hier n gesucht
Genau.
> die Werte "rückwärts" aus der Tabelle ablesen
Klingt ja interessant. :)
Ich denke mal ohne etwas Umstellen wird das nichts Überzeugendes.
P(wenigstens eine der n Personen hat nicht gewählt)
[mm] =\summe_{i=1}^{n}P(i [/mm] der n Personen haben nicht gewählt)
Das müsste man nun für verschiedene n jeweils alles summieren. Endlose arbeit...
Es ist also zu empfehlen
P(wenigstens eine der n Personen hat nicht gewählt)
anders zu berechnen. (Gegenereignis)
Danach dann die Ungleichung
P(wenigstens eine der n Personen hat nicht gewählt)>0,98
nach n umstellen.
Ciao.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Schobbi |
Zuerst einmal vielen Dank für deine Hilfe, ich bin somit ein gutes Stück vorangekommen. Jedoch hab ich zu Teil c noch eine kleine Nachfrage:
P(wenigstens eine der n Personen hat nicht gewählt)>0,98
1-P(höchstens eine der n Personen hat nicht gewählt)>0,98
Also: P(X [mm] \le [/mm] 1)<0,02
Und dann suche ich mir das entsprechende n in der Tabelle der Binomialverteilung? Oder kann ich nicht durch
P(X [mm] \le 1)=\vektor{n \\ 1}*(0,25)*(1-0,25)^{n-1}=n*0,25*(0,75)^{n-1}<0,02
[/mm]
mein gesuchtes n berechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Im Prinzip ist das soweit ok. Nur dein Gegenereignis stimmt nicht ganz.
> P(wenigstens eine der n Personen hat nicht gewählt)>0,98
> 1-P(höchstens eine der n Personen hat nicht gewählt)>0,98
wenigstens 1 [mm] \gdw Anzahl\ge1
[/mm]
höchstens 1 [mm] \gdw Anzahl\le1
[/mm]
Damit ist Anzahl=1 in beiden Mengen. Das sollte nicht sein.
Richtig wäre: Anzahl<1
Also
1-P(weniger als eine der n Personen hat nicht gewählt)>0,98
[mm] \gdw [/mm] 1-P(keine der n Personen hat nicht gewählt)>0,98
[mm] \gdw [/mm] 1-P(alle n Personen haben gewählt)>0,98
> [mm] P(X\le 1)=\vektor{n \\ 1}\cdot{}(0,25)\cdot{}(1-0,25)^{n-1}= n\cdot{}0,25\cdot{}(0,75)^{n-1}<0,02 [/mm]
Obwohl du diese Rechnung dann nicht mehr brauchst, sollte dir klar sein, dass [mm] X\le1 [/mm] aus X=0 und X=1 besteht. [mm] P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1)
[/mm]
Ciao.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Schobbi |
> Obwohl du diese Rechnung dann nicht mehr brauchst, sollte
> dir klar sein, dass [mm]X\le1[/mm] aus X=0 und X=1 besteht.
> [mm]P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1)[/mm]
Danke für deine Hilfe, aber
[mm] P(X\le1)=\summe_{i=0}^{1}\vektor{n \\ i}(0,25)^{i}*(1-0,25)^{n-i}
[/mm]
ist doch dann
[mm] =\vektor{n \\ 1}\cdot{}(0,25)\cdot{}(1-0,25)^{n-1},
[/mm]
da [mm] \vektor{n \\ 0} [/mm] nach Definition =0 ist und somit der erste Summand wegfällt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:10 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Ah, ok.
Dann hat es am Binomialkoeffizienten gelegen.
[mm] \vektor{n \\ 0}=\vektor{n \\ n}=1
[/mm]
Das sind die beiden äußeren Werte im Pascalschen Dreieck.
Ciao.
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