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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 So 11.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
Weisen sie für alle [mm] n\in\IN [/mm] (mit 0) nach:
| Aufgabe | [mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^k \vektor{n \\ k}=0 [/mm] falls n>0
[mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^k \vektor{n \\ k}=1 [/mm] falls n=0 |
Hallo,
Ich habe überhaut keine Idee, wie ich diese Aufgabe angehen soll.
Könnt ihr mir vielleicht einen Schubs in die richtige Richtung geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 So 11.12.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
nutze fuer die erste Gleichung [mm] $(a+b)^n= \summe_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{n-k}$, [/mm] indem du geschickt $a,b_$ waehlst.
Die zweite Behauptung verstehe ich nicht. Einerseits soll [mm] $n\in\IN\cup\{0\}$ [/mm] gewaehlt werden, andererseits soll $n<0_$ sein ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 So 11.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
Hallo,
> nutze fuer die erste Gleichung [mm](a+b)^n= \summe_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{n-k}[/mm],
> indem du geschickt [mm]a,b_[/mm] waehlst.
Wie steht denn [mm] (a+b)^n= \summe_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{n-k} [/mm]
mit
[mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^k \vektor{n \\ k}=0 [/mm]
in Verbindung? Sind die Gleich? Ich muss doch eigentlich mit der Gleichung/Formel aus der Aufgabenstellung anfangen, und diese dann umformen, oder?
Und ich dachte bei Beweisen wäre es nicht ausreichend, für Variablen 1x irgendwelche Zahlen einzusetzen. Die Gleichung mag dann für diese gewählte Zahlen gelten, aber nicht für alle [mm] \IN [/mm] (mit 0) ? Es kann ja irgendeine Natürliche Zahl geben, für die diese Gleichung dann nicht gilt.
a=1
b=-1
[mm] (1-1)^n= \summe_{k=0}^{n}\binom{n}{0}1^0*(-1^n) [/mm] + [mm] \binom{n}{1}1^1*(-1^{n-1}) [/mm] + [mm] \binom{n}{2}1^2*(-1^{n-2})+ \binom{n}{3}1^3*(-1^{n-3})....
[/mm]
n=3
[mm] (1-1)^3= \summe_{k=0}^{3}\binom{3}{0}1^0*(-1^3) [/mm] + [mm] \binom{3}{1}1^1*(-1^{3-1}) [/mm] + [mm] \binom{3}{2}1^2*(-1^{3-2})+ \binom{3}{3}1^3*(-1^{3-3})=0
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{3}(-1)^k \vektor{3 \\ k}=0 [/mm]
Jetzt bin ich ein Beispiel mit a=1, b=-1, n=3 durchgegangen, wo die Gleichungen stimmen.
Aber das ist ja jetzt nur für einen Fall bewiesen. Das reicht doch nicht aus oder?
Falls doch, wie komme ich von der Aufgabenstellung zu deiner Gleichung?
> Die zweite Behauptung verstehe ich nicht. Einerseits soll
> [mm]n\in\IN\cup\{0\}[/mm] gewaehlt werden, andererseits soll [mm]n<0_[/mm]
> sein ...
Sorry, Aufgabe falsch angeschrieben!
Habs entsprechend geändert. Soll n=0 und nicht n<0 heißen. Sorry!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 So 11.12.2011 | | Autor: | luis52 |
Okay, ich habe unterstellt, dass dir die Formel gelaeufig ist. Wenn dir wohler ist, beweise sie, also:
Seien $a,b_$ relle Zahlen. Dann gilt fuer alle [mm] $n\in\IN$:
[/mm]
$ [mm] (a+b)^n= \summe_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{n-k} [/mm] $
(Ist nicht schwer ...)
Wenn die Gleichung fuer alle $a,b,n_$ gilt, dann auch fuer $a=1,b=1_$, wie du bereits selber herausgefunden hast.
Der Fall $n=0$ ist m.E. offensichtlich, wenn du einige Annahmen machst.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 So 11.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
Ich kenne diese Formel, aber wie strukturiere ich meinen Beweis?
Ich muss ja erstmal irgendwie einen Zusammenhang zwischen
[mm] (a+b)^n= \summe_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{n-k}
[/mm]
und
[mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^k \vektor{n \\ k}=0
[/mm]
herstellen.
Ich kann ja nicht einfach irgendeine Formel dahin schreiben.
Ich habe bisher nur eine handvoll Beweis-Aufgaben gemacht. Dort wurde die Gleichung dann meist durch Äquivalenzumformungen umgeformt, bis was brauchbares rauskam. Aber bei dieser Aufgabe hier weiß ich nicht, was ich umschreiben soll.
Mit deiner genannten Formel hab ich ja ein Beispiel durchgerechnet. Mit den gleichen Werten kommt auch bei der Formel aus der Aufgabenstellung das gleiche heraus. Also hängen diese beiden Formeln zusammen.
Aber wie schreibe ich dies auf und vorallem, wie beweise ich, dass dies für alle natürlichen Zahlen gilt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 So 11.12.2011 | | Autor: | luis52 |
Ich wuerde so schreiben:
Bekanntlich gilt $ [mm] (a+b)^n= \summe_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{n-k} [/mm] $ fuer alle [mm] $a,b\in\IR$ [/mm] und [mm] $n\IN$. [/mm] Setzt man $a=1,b=-1$, so folgt die Behauptung sofort.
M.E. kannst du die Gleichung als bekannt voraussetzen. Zur Not kannst du mal im MR nach "binomischer Formel" suchen.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 So 11.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
Und wie stelle ich den Zusammenhang von
[mm] (a+b)^n= \summe_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{n-k}
[/mm]
zu
[mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^k \vektor{n \\ k}=0 [/mm]
dar?
Bis jetzt haben wir uns ja nur auf deine Formel bezogen und die Formel aus der Aufgabenstellung noch garnicht betrachtet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 So 11.12.2011 | | Autor: | luis52 |
Leider nicht *meine* Formel. Schoen waer's.
Setze $a=-1$ und $b=1$ (so ist's besser). Dann ist
$0 [mm] =(-1+1)^n= \summe_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k 1^{n-k}= \summe_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k$.
[/mm]
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 So 11.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
> Leider nicht *meine* Formel. Schoen waer's.
>
> Setze [mm]a=-1[/mm] und [mm]b=1[/mm] (so ist's besser). Dann ist
> [mm]0 =(-1+1)^n= \summe_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k 1^{n-k}= \summe_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k[/mm].
>
> vg Luis
Ahh ok, jetzt ist der Zusammenhang klar.
Danke dir wieder vielmals ;)
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