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Binomialsatz Rechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:30 Mi 24.10.2012
Autor: Jane_P

Aufgabe
Sei n,m e [mm] \IN [/mm] mit [mm] m\not=0 [/mm] und m<n. Zeigen Sie ohne direkte Rechnung.


[mm] \vektor{m \\ k} [/mm] < [mm] \vektor{n \\ k} [/mm]    für k= 1, ..., n;

[mm] \bruch{1}{m^k} \vektor{m \\ k} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n^k} \vektor{n \\ k} \le \bruch{1}{k!} \le \bruch{1}{2^{k-1}} [/mm]   für k=2, ... , n

Sollen die beiden Ungleichungen gleichzeitig gelten?

Wie kann man etwas durch direkte Rechnung beweisen?
Vor allem wenn es zwei verschiedene Ungleichungen sind.

Soll man das mit einen Beispiel machen?
z.B. m=1 und n=2 und dann versuchen das auszurechnen? Aber was macht man dann mit dem k?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Binomialsatz Rechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:36 Mi 24.10.2012
Autor: abakus


> Sei n,m e [mm]\IN[/mm] mit [mm]m\not=0[/mm] und m<n. zeigen="" sie="" ohne="" direkte="" <br="">> Rechnung.
>
>
> [mm]\vektor{m \\ k}[/mm] < [mm]\vektor{n \\ k}[/mm]    für k= 1, ..., n;
>  
> [mm]\bruch{1}{m^k} \vektor{m \\ k}[/mm] < [mm]\bruch{1}{n^k} \vektor{n \\ k} \le \bruch{1}{k!} \le \bruch{1}{2^{k-1}}[/mm]
>   für k=2, ... , n
>  Sollen die beiden Ungleichungen gleichzeitig gelten?

Hallo,
es soll wohl jede einzeln gelten.
Die erste sieht man leicht aus dem Pascalschen Dreieck.
Da [mm]\vektor{m+1 \\ k}[/mm] durch Addition aus [mm]\vektor{m \\ k}[/mm] und [mm]\vektor{m \\ k+1}[/mm] entsteht, ist [mm]\vektor{m+1 \\ k}[/mm] größer als [mm]\vektor{m \\ k}[/mm]. Das lässt sich fortesetzen bis [mm]\vektor{n \\ k}[/mm].
Gruß Abakus

>  
> Wie kann man etwas durch direkte Rechnung beweisen?
>  Vor allem wenn es zwei verschiedene Ungleichungen sind.
>
> Soll man das mit einen Beispiel machen?
> z.B. m=1 und n=2 und dann versuchen das auszurechnen? Aber
> was macht man dann mit dem k?
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

</n.>

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