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| Aufgabe | | Entscheiden sie - ohne Zuhilfenahme eines Taschenrechnerns - welche der beiden Zahlen [mm] 1000000^{1000001} [/mm] und [mm] 1000001^{1000000} [/mm] die größere ist. Hinweis: Fragestellung auf den Vergleich von [mm] n^{n+1} [/mm] und [mm] (n+1)^{n} [/mm] abstrahieren,den Quotienten betrachten und binomischen Satz anwenden,Binomialkoeffizienten geeignet abschätzen. |
Hallo zusammen, habe folgende Frage zu der Aufgabe:
Ich habe den Quotienten mit [mm] \bruch{n^{n+1}}{(n+1)^{n}} [/mm] gebildet und [mm] (n+1)^{n} [/mm] mit [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} n^{n-k} 1^{k} [/mm] ersetzt.
Das Problem ist,dass ich aus [mm] n^{n+1} [/mm] mir nichts anderes reimen kann als ( [mm] n^{n}*n [/mm] ). Doch wie soll ich nun weitermachen! Sehe einfach keinen weg weiter das abzuschätzen. Ich hoffe jemand kann mir helfen!
Vielen Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:56 Mi 01.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
was das mit Binomialkoeff abschätzen zu tun hat weiss ich nicht, aber klammer im Nenner [mm] n^n [/mm] aus und kürz, dann sieht es doch schon für große n gut aus!
Gruss leduart
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Wie soll ich denn aus [mm] (n+1)^{n} [/mm] ein [mm] n^{n} [/mm] ausklammern! Das ist doch eine binomische Formel??
Wie meinst du das??
GRUß
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Hallo,
Schaumer uns mal den Ausdruck [mm] $)n+1)^n$ [/mm] an: zunächst ist ja für jedes $n$ $1=n/n$.
Nu ersetz dochmal in der Klammer "1" durch "$n/n$". Nu ersetzt Du $n$ durch $n*1$; jetzt sollte klar sein, wie Du [mm] $n^n$ [/mm] ausklammern kannst, oder  ?
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Vielen Dank für den Hinweis: Jetzt habe ich folgenden Bruch herausbekommen:
Also ich ersetze: [mm] (n+1)^{n} [/mm] mit [mm] (n+\bruch{n}{n})^{n}
[/mm]
Dann [mm] (n+\bruch{n}{n})^{n} [/mm] mit [mm] (n*1+\bruch{n}{n})^{n} [/mm] .
Dann klammer ich [mm] n^{n} [/mm] aus und kürze mit [mm] n^{n} [/mm] aus dem Zähler. Es bleibt : [mm] \bruch{n}{(1+\bruch{1}{n})^n} [/mm] übrig. Nur sehe ich jetzt auch nicht wie ich weitermachen soll.
Ist das jetzt ein anderer Weg wie ürsprünglich in der Aufgabenstellung?
Gruß M.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Mi 01.11.2006 | | Autor: | Foorbie |
Ich weiß nicht, ob das weiter hilft, aber es gibt da eine Abschätzung, die besagt: [mm] (1+x)^n [/mm] >= 1+nx . Das ist aber eine sehr grobe Abschätzung.
Außerdem gilt noch: [mm] (1+1/n)^n<= [/mm] (1+ 1/(n+1))^(n+1)
Vielleicht hilft das ja weiter...
Gruß, Foorbie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Fr 03.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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