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Binomialkoeffizienten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:41 Mi 02.11.2005
Autor: roxy

Hallo zusammen,
hab  eine Frage bezüglich der Binomialkoeffizienten, u.z. sollte folgende Identität bewiesen werden:

[mm] {n \choose k} [/mm] +[mm] {n+1 \choose k+1} [/mm]+...+[mm] {n+l \choose k+l} [/mm]= [mm] {n+l+1 \choose k+l} [/mm]-[mm] {n \choose k-1} [/mm]

ich habe versucht den Symetriesatz anzuwenden, aber irgendwie dreh ich mich im Kreis...kann mir jemand ein Tipp geben, wo ich anfangen soll?
Vielen Dank,
roxy

        
Bezug
Binomialkoeffizienten: Beweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:41 Do 03.11.2005
Autor: danielinteractive

Hallo roxy!

[willkommenmr]

>  hab  eine Frage bezüglich der Binomialkoeffizienten, u.z.
> sollte folgende Identität bewiesen werden:
>  
> [mm]{n \choose k}[/mm] +[mm] {n+1 \choose k+1} [/mm]+...+[mm] {n+l \choose k+l} [/mm]=
> [mm]{n+l+1 \choose k+l} [/mm]-[mm] {n \choose k-1}[/mm]

statt diese Gleichung zu zeigen, können wir auch
[mm]{n \choose k-1} + {n \choose k} + {n+1 \choose k+1} + \ldots + {n+l \choose k+l} = {n+l+1 \choose k+1}[/mm] beweisen. Und das geht mit der wichtigen Identität
[mm]{n \choose k-1} + {n \choose k} = {n+1 \choose k}[/mm], die man sich mit dem Pascalschen Dreieck gut merken kann.
Also los gehts:
[mm]\underbrace{{n \choose k-1} + {n \choose k}} + {n+1 \choose k+1} + \ldots + {n+l \choose k+l} =[/mm]
[mm]\underbrace{{n+1 \choose k} + {n+1 \choose k+1}} + {n+2\choose k+2} \ldots {n+l \choose k+l}=[/mm]
[mm]\underbrace{{n+2 \choose k+1} + {n+2 \choose k+2}} \ldots {n+l \choose k+l}=[/mm]
[mm]\vdots[/mm]
[mm]={n+l \choose k+l-1} + {n+l \choose k+l} = {n+l+1 \choose k+l}[/mm]

mfg
Daniel

Bezug
                
Bezug
Binomialkoeffizienten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:17 Do 03.11.2005
Autor: roxy

Hallo Daniel,

vielen Dank für Deine Hilfe. Als ich den Beweis vor mir hatte, war plötzlich alles sehr einfach :-) und konnte es auch für die nächste Aufgabe anwenden! Naja, Übung macht den Meister...nochmals vielen Dank!
roxy

Bezug
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