Binomialkoeffizient, Summen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Mo 01.11.2004 | | Autor: | NilsInc |
Hallo, ich stehe hier vor einem Problem:
es ist zu zeigen:
[mm] \summe_{i=0}^{n} {2n+1 \choose i} = 2^{2n} [/mm]
mit den Tipps:
[mm] \summe_{i=0}^{n}{n \choose i} = 2^{n} [/mm]
und
[mm] {n \choose i} = {n \choose n-i} [/mm]
hat jemand dazu eine gute Idee oder einen Ansatz?
vielen Dank im Vorraus
Nils
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Bei Deiner Aufgabe wird Induktion nach n verlangt.
Ich schlage vor, Du beginnst Deine Induktion einmal mit dem Induktionsanfang.
Das sollte kein Problem sein, das entsprechenede zu zeigen.
Beim Indutionsschritt solltest Du mit der Summe beginnen und diese natürlich dann bis n+1 laufen lassen.
Anschliessend ziehst du das (n+1)-Glied aus der Summe heraus.
Bei Binomilakoeffizienten ist es oft auch hilfreich, diese in Fakuläten zu zerlegen, da man evtl kürzen kann.
Schreibe Deine Indktion einfach ins Forum. Dann können wir immer noch gemeinsam schauen, wo genau du nicht weiterkommst.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo NilsInc!
Du brauchst hier keine Induktion zu führen.
Nach den beiden Tipps gilt:
(1) [mm] $\sum\limits_{i=0}^{2n+1} [/mm] {{2n+1} [mm] \choose [/mm] i} = [mm] 2^{2n+1}$
[/mm]
und
(2) [mm] $\sum\limits_{i=n+1}^{2n+1} [/mm] {{2n+1} [mm] \choose [/mm] i} = [mm] \sum\limits_{i=0}^n [/mm] {{2n+1} [mm] \choose [/mm] {i+n+1}} = [mm] \sum\limits_{i=0}^{2n+1} [/mm] {{2n+1} [mm] \choose [/mm] {2n+1-(i+n+1)}} = [mm] \sum\limits_{i=0}^n [/mm] {{2n+1} [mm] \choose [/mm] n-i} = [mm] \sum\limits_{i=0}^n [/mm] {{2n+1} [mm] \choose [/mm] i}$
und daher:
[mm] $2^{2n+1} \stackrel{(1)}{=} \sum\limits_{i=0}^{2n+1} [/mm] {{2n+1} [mm] \choose [/mm] i} = [mm] \sum\limits_{i=0}^n [/mm] {{2n+1} [mm] \choose [/mm] i} + [mm] \sum\limits_{i=n+1}^{2n+1} [/mm] {{2n+1} [mm] \choose [/mm] i} [mm] \stackrel{(2)}{=} [/mm] 2 [mm] \cdot \sum\limits_{i=0}^n [/mm] {{2n+1} [mm] \choose [/mm] i}$,
also die Behauptung.
Liebe Grüße
Stefan
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