Binomialkoeffizient: Beweis < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Neongelb |
| Aufgabe | Beiweise die folgende Gleichung für Binomialkoeffizienten:
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k-1} [/mm] = [mm] \vektor{n+1 \\ k} [/mm] für alle k [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \in \IN(mit [/mm] 0). |
Hi,
nun lässt sich das ja auch darstellen als:
[mm] \bruch{n!}{k! \* (n-k)!} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{(k-1)! \* (n - (k-1))!} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)!}{k! \* ((n+1) - k)!}
[/mm]
Nun weiß ich nicht wie ich weiterkomme. Kann ich hier nun die Regeln zum Binomialkoeffizienten anwenden? Mir ist nichts aufgefallen wie ich weiterkommen könnte. Kann mir da jemand weiterhelfen?
Grüße
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> Beiweise die folgende Gleichung für
> Binomialkoeffizienten:
>
> [mm]\vektor{n \\
k}[/mm] + [mm]\vektor{n \\
k-1}[/mm] = [mm]\vektor{n+1 \\
k}[/mm]
> für alle k [mm]\in \IN,[/mm] n [mm]\in \IN(mit[/mm] 0).
> Hi,
> nun lässt sich das ja auch darstellen als:
>
> [mm]\bruch{n!}{k! \* (n-k)!}[/mm] + [mm]\bruch{n!}{(k-1)! \* (n - (k-1))!}[/mm]
> = [mm]\bruch{(n+1)!}{k! \* ((n+1) - k)!}[/mm]
Hallo,
forme die Gleichung von [mm]\bruch{n!}{k! \* (n-k)!}[/mm] + [mm]\bruch{n!}{(k-1)! \* (n - (k-1))!}[/mm] ausgehend so um, daß am Ende ...= [mm]\bruch{(n+1)!}{k! \* ((n+1) - k)!}[/mm] dasteht.
Bedenke: es ist z.B. 7!=6!*7, oder allgemein ausgedrückt m!=(m-1)!*m bzw. (m+1)!=(m+1)*m!.
Es ist
[mm]\bruch{n!}{k! \* (n-k)!}[/mm] + [mm]\bruch{n!}{(k-1)! \* (n - (k-1))!}[/mm]
=[mm]\bruch{n!}{k*(k-1)! \* (n-k)!}[/mm] + [mm]\bruch{n!}{(k-1)! \* (n - k+1)(n-k))!}[/mm]
= ... (ausklammern und dann weiterrechnen.)
LG Angela
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> Nun weiß ich nicht wie ich weiterkomme. Kann ich hier nun
> die Regeln zum Binomialkoeffizienten anwenden? Mir ist
> nichts aufgefallen wie ich weiterkommen könnte. Kann mir
> da jemand weiterhelfen?
>
> Grüße
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