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Binomialkoeffizient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:44 Mo 25.10.2010
Autor: folken

Aufgabe
Beweisen Sie für n,m [mm] \in \IN [/mm] mit m <= n die Identität

[mm] \vektor{n \\ m-1} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ m} [/mm] = [mm] \vektor{n+1 \\ m} [/mm]

ohne Verwendung der Gleichung [mm] \vektor{n \\ k} =\bruch{n!}{(n-k)!*k!} [/mm]


Hallo,

mein Problem ist, dass ich mir nicht vorstellen kann, wie eine (m-1) elementige Teilmenge einer n-elementigen Menge aussehen soll.

Mein Verständnis: Wenn ich eine Teilmenge(eine m-elementige Teilmenge) rausnehme, dann wird ja auch implizit auch aus der n-elementigen Menge was entfernt, aber dann ist das doch der Ausdruck : [mm] \vektor{n-1 \\ m-1} [/mm] und nicht der obige Ausdruck [mm] \vektor{n \\ m-1}. [/mm]

Kann mir jemand erklären wo mein Denkfehler ist?

        
Bezug
Binomialkoeffizient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:23 Mo 25.10.2010
Autor: vivo

Hallo,

[mm]\vektor{n \\ m-1}[/mm] = [mm]\vektor{n+1 \\ m} - \vektor{n \\ m} [/mm]

wie viel mehr Möglichkeiten gibt es eine m-elementige Teilmenge aus einer (n+1)-elementigen als aus einer n-elementigen Menge herauszunehmen?

Wir finden einfach alle Möglichkeiten eine (m-1)-elementige Teilmenge aus einer n-elementigen Menge herauszunehmen und hängen gedanklich an jede gefundene Teilmenge das (n+1)'te Element an, dann haben wir m-elementige Teilmengen.

Nur zum Verständnis, bewiesen werden muss es natürlich noch.

Gruß


Bezug
                
Bezug
Binomialkoeffizient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:59 Mo 25.10.2010
Autor: folken

Danke für deine Antwort.

Ich komme irgendwie nicht auf die Lösung, wobei ich das Thema mit dem Binomialkoeffizienten und den Teilmengen der Mengen wohl verstanden habe.
Kann mir jemand einen Ansatz geben?

Bezug
                        
Bezug
Binomialkoeffizient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 Mo 25.10.2010
Autor: MathePower

Hallo folken,

> Danke für deine Antwort.
>  
> Ich komme irgendwie nicht auf die Lösung, wobei ich das
> Thema mit dem Binomialkoeffizienten und den Teilmengen der
> Mengen wohl verstanden habe.
>  Kann mir jemand einen Ansatz geben?


Nach dem binomischen Satz gilt:

[mm]\left(1+t\right)^{n}=\summe_{m=0}^{n}\pmat{n \\ m}t^{m}[/mm]

Entsprechend gilt:

[mm]\left(1+t\right)^{n+1}=\summe_{m=0}^{n+1}\pmat{n+1 \\ m}t^{m}[/mm]

Um obiges zu zeigen, multipliziere zunächst den Ausdruck

[mm]\summe_{m=0}^{n}\pmat{n \\ m}t^{m}[/mm]

mit 1+t

Berechne also

[mm]\left(1+t\right)*\summe_{m=0}^{n}\pmat{n \\ m}t^{m}[/mm]

und vergleiche dies mit

[mm]\summe_{m=0}^{n+1}\pmat{n+1 \\ m}t^{m}[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
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