Binomialkoeff: n über n+1 < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Mi 29.12.2004 | | Autor: | Grave |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Warum ist n über (n+1) = 0 ?
n!/(n+1)!(n-n-1)!
=
1/(n+1)(-1)!
...
= 0
Soweit komme ich bei meiner Umformung, aber weiter weiß ich leider nicht!
Vielen Dank für Antworten, MfG GRAVE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Mi 29.12.2004 | | Autor: | Faenol |
Hi Grave !
Meines Kenntnisstandes wird das definiert:
[mm] \vektor{n \\ k}=0 [/mm] für k>n
In deinem Fall ist n+1 > n .
[Mit Vorsicht zu genießen]
Selbst, wenn man es nicht als definiert ansehen möchte, gelangt man schnell zu einem Problem der Fakultät:
Deine Umformungen sind ja richtig, nur was ist (-1)! ?
Eigentlich fängt die Fakultät ja bei 0!=1 an, und das Resultat der Fakultät ist auf jeden Fall positiv:
Würde man versuchen, es abzuschätzen:
Ignorieren wir mal, dass (-1)! gar nicht definiert ist, und gehen davon aus, dass im Allgemeinen 1! [mm] \le [/mm] 2! [mm] \le [/mm] 3!... gilt.
[mm] n!/(n+1)!(-1)!\ge [/mm] n!/(n+1)!(0)!=n!/(n+1)!=n*(n+1)!/(n+1)!=n
=> [mm] \bruch{n!}{(n+1)!(-1)!} \ge [/mm] n folgt:
Das ist aber schon ein Widerspruch, da es nicht für alle n gilt:
[mm] \bruch{1}{2*(-1)!} [/mm] < 1 !
[/ Mit Vorsicht zu genießen]
Auch von der Bedeutung der Bio.koeff. macht es Sinn, die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten einer Teilmenge aus einer kleineren Menge ermitteln ?
Faenôl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Mi 29.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Grave,
erstmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Gemäß Definition gilt:
[mm] $\vektor{n \\ k} [/mm] := [mm] \bruch{n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1)}{1*2*3*...*k}$
[/mm]
Für unser Beispiel heißt das:
[mm] $\vektor{n \\ n+1}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{n*(n-1)*(n-2)*...*(n-(n+1)+1)}{1*2*3*...*n*(n+1)}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{n*(n-1)*(n-2)*...*(n-n-1+1)}{1*2*3*...*n*(n+1)}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{n*(n-1)*(n-2)*...*0}{1*2*3*...*n*(n+1)}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{0}{(n+1)!}$
[/mm]
Aufgrund der 0 im Zähler gilt also:
[mm] $\vektor{n \\ n+1} [/mm] = 0$
Es gilt immer: [mm] $\vektor{n \\ k} [/mm] = 0$ für k > n
Dieser Ausdruck ist also nicht explizit definiert, sondern ergibt sich unmittelbar aus der ursprünglichen Definition des Binomialkoeffizienten.
Grüße
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Mi 29.12.2004 | | Autor: | Grave |
Hallo,
vielen Dank für die Antworten.
Habe es mir eben nochmal angeguckt und bin dabei noch ein 2 andere Wege gestoßen:
Einmal kann man das mit dem Rechenregel für BinKoeff. etwas auseinanderziehen und dann steht da 1/bla - 1/bla = 0.
Folgt wie schon gesagt, aus der Definition, die wir auch in der Vorlesung hatten,
dass n über k =
n!/k!(n-1)! WENN k [mm] $\in${0,1 ... n}
[/mm]
0 sonst.
da aber mein k nicht in {0,1 ... n} liegt, ist das Ergebnis Null.
Sollte in Zukunft mir die Definitionen genauer angucken.
Trotzdem vielen Dank für die Antworten...
MfG GRAVE
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![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
Das sehe ich so ad hoc nicht, aber das soll jetzt nichts heißen ...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Gern geschehen ...
