Binäre Operation mit +,- und * < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Prüfen Sie folgende binäre Operation [mm] \circ : \IR x \IR \to \IR [/mm] auf Assoziativität, Kommuttivität und Existenz eines neutralen Elementes.
[mm]a \circ b = a+b-ab [/mm]
Hinweis: Rechts des Gleichietszeichens stehen die gewöhnliche Addition, Subtraktion und Multiplikation in [mm] \IR[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Forum!
Zu dieser Aufgabenstellung nur ein Test ob ich das Thema verstanden habe =)
Assoziativtät bedeutet dann:
[mm] (a \circ b) \circ c = a \circ ( b\circ c) \qquad
(a \circ b) \circ c = (a +b-ab)+c-(a+b-ab)c = \dots [/mm]
Falls ich das richtig aufgestellt habe, arbeite ich jetzt mit dem Hinweis, dass die Operationen die gewhnlichen in R sind für die wir Assoziativ und Kommutativ schon bewiesen haben.
Richtig? Denkfehler? Freue mich auf Antwort!
Lg Angelnoir
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
ja, genau so ist es.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Angelnoir |
So, also denke ich bin jetzt fertig und schreibe jtzt mal für alle, denen es helfen könnte, die Lösung (für dessen Korrektheit ich allerdings nicht garantieren kann):
Assoziativität: [mm](a \circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)
[/mm]
Kommutativität: [mm]a\circ b= b\circ a[/mm]
Neutrales Element: [mm]a\circ e=a[/mm]
Beweis für Assoziativ:
[mm](a\circ b)\circ c\\
&=(a+b-ab)+c-(a+b-ab)c\\
&=a+b-ab+c-(ca +cb-cab)\\
&=a+b+c-ab-ca-cb+cab\\
&=a+b+c-bc-ab-ac-abc\\
&=a+(b+c-bc)-a(b+c-bc)=a\circ(b\circ c)[/mm] (Kommutativität und Assoziativität von "+" und "*" in R)
Beweis für Kommutativ:
[mm]a\circ b=a+b-ab=b+a-ba=b\circ a[/mm] aufgrund der Kommutativität von "+" und "*" in R
Neutrales Element:
[mm]a\circ e=a+e-ae=a \qquad e=0[/mm]
Das Neutrale Element hab ich durch Einsetzen heraus, bzw weil es das neutrale Element der Addition und Subtraktion ist und die 0 in der Multipliikation den bekannten Effekt des "Auslöschens" hat. Keine sehr mathematische Begründung ;)
Ich hoffe das hilft jemandem =)
LG Angelnoir
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