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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:21 Do 09.06.2011 | | Autor: | Sup |
Ich sollte gerade die binomische Formel per vollständige Induktion beweisen, was ich auch geschafft hab.
Die Vorraussetzungen waren: x,y [mm] \in \IQ [/mm] \ {0} und n [mm] \in \IN.
[/mm]
[mm] (x+y)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^{n-k}y^k
[/mm]
Nun soll x,y Elemente eines assoziativen Rings sein.
Die Frage war, welche Eigenschaft der Ring sonst noch haben muss, damit die Formel gilt.
Für mich ist klar, dass der Ring kommutativ bzgl. der Multiplikation sein soll. Nur weiß ich nicht so recht wie ich das begründe.
Mein erster Gedanke war jetzt, dass der Binominalkoeffizient über die Fakultäten definiert ist, aber wenn ich die als [mm] \produkt_{i=1}^{n}i [/mm] schreibe ist ja die Reihenfolge eig. auch definiert.
Edit: Mir kam glaub ich grad der zündende Gedanke, hab wieder zu kompliziert gedacht.
Wäre der Ring nicht kommutativ wäre ja [mm] (r+s)^2=r^2+2rs+s^2\not=r^2+2sr+s^2=(s+r)^2
[/mm]
weil [mm] rs\not=sr
[/mm]
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Na da bist du ja schon fast selbst fertig mit der Aufgabe.^^
Nur eine Kleinigkeit noch, bevor du das am Ende noch falsch ablieferst:
Wäre der Ring nicht kommutativ so wäre:
[mm] $(r+s)^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm] + rs + sr + [mm] s^2$
[/mm]
Das heißt du darfst da überhaupt nichts zu 2rs oder 2sr zusammenfassen, eben weil $rs [mm] \not= [/mm] sr$
Davon abgesehen hast du natürlich recht, wenn dein Ring kommutativ ist gilt die binomische Formel über ihm.
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