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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:39 Sa 16.01.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe einige Fragen zum Thema Bilinearformen:
1) Eine Bilinearform ist ja eine Abbildung $B:V [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] K$. Wenn V nun ein komplexer Vektorraum ist, und K nun [mm] \IC [/mm] ist, habe ich dann automatisch eine hermitesche Form? Kann es in Bilinearformen auch gemischt sein? Also zum Beispiel V ein reeller Vektorraum und K komplex oder umgekehrt?
2) Wir haben mal gesagt, dass man eine Bilinearform B, die <v,w> nach v^TAw abbildet, eine durch die Matrix A definierte Bilinearform ist.
Nun gibt es ja noch die darstellende Matrix, die eine Bilinearform beschreibt.
Gibt es einen Zusammenhang zwischen diesen beiden Matrizen?
Definiert eine, eine Bilinearform darstellende Matrix A, durch v^TAw immer eine Bilinearform?
Andersrum, eine Matrix, die eine Bilinearform definiert, ist das auch immer eine darstellende Matrix?
Und ist vielleicht eine Matrix A, die eine Bilineraform durch v^TAw definiert, auch genau die Darstellungsmatrix zu dieser Bilinearform?
3) Bei darstellenden Matrizen zu Bilinearformen gibt es ja auch Basiswechsel. Wie ist das überhaupt mit den Basen? Eine Bilinearform bildet ja von $V [mm] \times [/mm] V$ ab. Habe ich dann in beiden V die gleiche Basis und haben nach Basiswechsel beide V die gleiche (andere als vor Basiswechsel) Basis? Oder haben beide V eine unterschiedliche Basis und beim Basiswechsel wechselt die Basis in einem der V?
4) Man kann bei Bilinearformen ja eine Basis finden, so dass die darstellende Matrix eine Diagonalmatrix ist, bei der auf der Diagonalen nur +1,-1 und 0 stehen. Eine solche Basis, bei der das geht, ist doch dann eine Orthogonalbasis, oder? Kann es mehrere Orthogonalbasen zu einer Abbildung geben und wenn ja, gilt das mit den +1,-1 und 0 für alle Orthogonalmatrizen?
Vielen Dank für eure Hilfe.
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 So 17.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Ich habe einige Fragen zum Thema Bilinearformen:
>
> 1) Eine Bilinearform ist ja eine Abbildung [mm]B:V \times V \to K[/mm].
> Wenn V nun ein komplexer Vektorraum ist, und K nun [mm]\IC[/mm] ist,
> habe ich dann automatisch eine hermitesche Form? Kann es in
> Bilinearformen auch gemischt sein? Also zum Beispiel V ein
> reeller Vektorraum und K komplex oder umgekehrt?
Also nach meinem Verständnis des Begriffes Bilinearform ist V ein Vektorraum über K.
Und eine Bilinearform über einem komplexen Vektorraum muss nicht hermitesch sein. Nimm [mm] $K=\IC$, $V=\IC^2$ [/mm] und die Bilinearform sei definiert als
[mm] = x_1 *\overline{y_2} -x_2 * \overline {y_2} [/mm]
Die ist nicht hermitesch: [mm] = - \overline{} [/mm].
> 2) Wir haben mal gesagt, dass man eine Bilinearform B, die
> <v,w> nach v^TAw abbildet, eine durch die Matrix A
> definierte Bilinearform ist.
> Nun gibt es ja noch die darstellende Matrix, die eine
> Bilinearform beschreibt.
> Gibt es einen Zusammenhang zwischen diesen beiden
> Matrizen?
> Definiert eine, eine Bilinearform darstellende Matrix A,
> durch v^TAw immer eine Bilinearform?
Ja. Die darstellende Matrix bezieht sich auf eine bestimmte Basis. Ist [mm] $e_1,\dots,e_n$ [/mm] eine Basis von $V$, so sind die Matrixelemente der darstellenden Matrix [mm] $$. [/mm] Wenn die Matrix A diese Bilinearform definiert, so ist also
[mm] = e_i^T A e_j [/mm]
> Andersrum, eine Matrix, die eine Bilinearform definiert,
> ist das auch immer eine darstellende Matrix?
> Und ist vielleicht eine Matrix A, die eine Bilineraform
> durch v^TAw definiert, auch genau die Darstellungsmatrix zu
> dieser Bilinearform?
Siehe oben.
> 3) Bei darstellenden Matrizen zu Bilinearformen gibt es ja
> auch Basiswechsel. Wie ist das überhaupt mit den Basen?
> Eine Bilinearform bildet ja von [mm]V \times V[/mm] ab. Habe ich
> dann in beiden V die gleiche Basis und haben nach
> Basiswechsel beide V die gleiche (andere als vor
> Basiswechsel) Basis? Oder haben beide V eine
> unterschiedliche Basis und beim Basiswechsel wechselt die
> Basis in einem der V?
Das geht beides. Im Prinzip kannst du in beiden die Basis unabhängig wählen und wechseln. Aber man nimmt fast immer für beide die gleich Basis. Wenn du unterschiedliche Basen [mm] $e_1,\dots,e_n$ [/mm] und [mm] $f_1,\dots,f_n$ [/mm] hast, sieht auch die darstellende Matrix anders aus: [mm] $ [/mm] $
> 4) Man kann bei Bilinearformen ja eine Basis finden, so
> dass die darstellende Matrix eine Diagonalmatrix ist, bei
> der auf der Diagonalen nur +1,-1 und 0 stehen. Eine solche
> Basis, bei der das geht, ist doch dann eine
> Orthogonalbasis, oder?
Du meinst den Trägheitssatz von Sylvester, nehme ich an. Der gilt für symmetrische Bilinearformen. Sonst könnte es komplexe Eigenwerte geben, dann funktioniert das nicht mehr.
Bei der Orthogonalbasis bin ich mir nicht ganz sicher, das muss ich mir mal in Ruhe überlegen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:23 Mo 25.01.2010 | | Autor: | Pacapear |
Vielen Dank für die Antworten, Rainer!
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