Bilinearform bezügl. Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 So 05.06.2005 | | Autor: | mimi94 |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo!
Ich habe Probleme bei verschiedenen Aufgaben, bei denen man die Bilinear Form bestimmen soll.
Ich habe schon Problem e bei den Ansätzen, es wäre toll, wenn mir da jemand helfen könnte und mir bei diesen beiden Aufgaben das Verfahren erklärt, so dass ich dies noch an anderen Aufgaben nachrechnen kann.
1.)
Sei [mm] \beta [/mm] : [mm] \IR^{3} [/mm] × [mm] \IR^{3} \to \IR [/mm] die Bilinearform
[mm] \beta((a, [/mm] b, c), (d, e, f))=ad + 2bf + cf + 2ce − ae + be − bd.
Bestimme die Matrix [mm] [\beta]_{B} [/mm] bezüglich der geordneten Standardbasis B von [mm] \IR^{3} [/mm] .
Die Standardbasis ist doch wie immer :(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)?
2.)
Sei [mm] \beta [/mm] : [mm] \IR^{3} [/mm] × [mm] \IR^{3} \to \IR [/mm] die Bilinearform
[mm] \beta [/mm] (x, y) = [mm] xAy^{t} [/mm] mit A [mm] =\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 }
[/mm]
Bestimme [mm] [\beta]_{B} [/mm] bezüglich der geordneten Basis B =((1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1))
Diese AUfgabe finde ich noch besonders schwer, da hier nicht mit der Standardbasis gerechnet wird.
Ich danke schonmal für jede Hilfe!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Mo 06.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hall mimi!
Es muss ja gelten:
[mm] $\beta((a,b,c),(d,e,f)) [/mm] = [mm] \pmat{a & b & c} \cdot [\beta]_B \cdot \pmat{d \\ e \\ f}$.
[/mm]
Daraus folgt offenbar:
[mm] $[\beta]_B [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1}$.
[/mm]
> 2.)
> Sei [mm]\beta[/mm] : [mm]\IR^{3}[/mm] × [mm]\IR^{3} \to \IR[/mm] die Bilinearform
> [mm]\beta[/mm] (x, y) = [mm]xAy^{t}[/mm] mit A [mm]=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 }[/mm]
>
> Bestimme [mm][\beta]_{B}[/mm] bezüglich der geordneten Basis B =((1,
> 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1))
Es gilt:
[mm] $[beta]_B [/mm] = [mm] \pmat{ \beta((1,0,0),(1,0,0)) & \beta((1,0,0),(0,1,1)) & \beta((1,0,0),(1,0,1)) \\ \beta((0,1,1),(1,0,0)) & \beta((0,1,1),(0,1,1)) & \beta((1,0,0),(1,0,1)) \\ \beta((1,0,1),(1,0,0)) & \beta((1,0,1),(0,1,1)) & \beta((1,0,1),(1,0,1)) }$.
[/mm]
Rechne die Einträge nun einfach unter Beachtung der Bilinearität von [mm] $\beta$ [/mm] aus. 
Viele Grüße
Julius
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