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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 Do 26.04.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Es seien V ein dreidimensionaler reeller Vektorraum mit Basis $ [mm] A=(v_1,v_2,v_3) [/mm] $ und [mm] \Phi [/mm] die durch
[mm] \pmat{ 1&1&2 \\ 1&1&1 \\ 0&1&1 } [/mm]
definierte Bilinearform auf V. Zeigen Sie, dass auch [mm] B=(v_1-v_2,v_1+v_2,v_3) [/mm] eine Basis von V ist und bestimmen Sie [mm] M^{B}(\Phi). [/mm] |
Hallo! Wäre nett wenn jemand sagen könnte ob das alles so stimmt.
Habe zunächst nachgewiesen, dass B eine Basis ist:
[mm] \lambda_1*(v_1-v_2)+\lambda_2*(v_1+v_2)+\lambda_3*v_3=0
[/mm]
[mm] \gdw (\lambda_1+\lambda_2)*v_1+(\lambda_2-\lambda_1)*v_2+\lambda_3*v_3=0
[/mm]
[mm] \gdw \lambda_1=-\lambda_2 [/mm] und [mm] \lambda_1=\lambda_2 \gdw \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0
[/mm]
Die Basisvektoren sind linear unabhängig und bilden somit eine Basis von V.
So, jetzt steht im Skript folgendes:
$ [mm] M^B_A(id_V)^T*M^A(\Phi)*M^B_A(id_V)=M^B(\Phi) [/mm] \ \ \ \ \ [mm] (\*) [/mm] $
Sehe ich das richtig, dass [mm] M^A(\Phi) [/mm] die in der Aufgabenstellung gegebene Matrix ist?
Weiter ist
[mm] id_V(v_1-v_2)=1*v_1-1*v_2+0*v_3
[/mm]
[mm] id_V(v_1+v_2)=1*v_1+1*v_2+0*v_3
[/mm]
[mm] id_V(v_3)=0*v_1+0*v_2+1*v_3
[/mm]
also [mm] M_A^B(id_V)=\pmat{ 1&1&0 \\ -1&1&0 \\ 0&0&1 } [/mm] und damit würde ich jetzt [mm] (\*) [/mm] berechnen.
Alles okay so??
Danke schonmal und liebe Grüße,
chesn
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> Es seien V ein dreidimensionaler reeller Vektorraum mit
> Basis [mm]A=(v_1,v_2,v_3)[/mm] und [mm]\Phi[/mm] die durch
>
> [mm]\pmat{ 1&1&2 \\
1&1&1 \\
0&1&1 }[/mm]
>
> definierte Bilinearform auf V. Zeigen Sie, dass auch
> [mm]B=(v_1-v_2,v_1+v_2,v_3)[/mm] eine Basis von V ist und bestimmen
> Sie [mm]M^{B}(\Phi).[/mm]
> Hallo! Wäre nett wenn jemand sagen könnte ob das alles
> so stimmt.
>
> Habe zunächst nachgewiesen, dass B eine Basis ist:
>
> [mm]\lambda_1*(v_1-v_2)+\lambda_2*(v_1+v_2)+\lambda_3*v_3=0[/mm]
>
> [mm]\gdw (\lambda_1+\lambda_2)*v_1+(\lambda_2-\lambda_1)*v_2+\lambda_3*v_3=0[/mm]
>
> [mm]\gdw \lambda_1=-\lambda_2[/mm] und [mm]\lambda_1=\lambda_2 \gdw \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0[/mm]
>
> Die Basisvektoren sind linear unabhängig und bilden somit
> eine Basis von V.
>
> So, jetzt steht im Skript folgendes:
>
> [mm]M^B_A(id_V)^T*M^A(\Phi)*M^B_A(id_V)=M^B(\Phi) \ \ \ \ \ (\*)[/mm]
>
> Sehe ich das richtig, dass [mm]M^A(\Phi)[/mm] die in der
> Aufgabenstellung gegebene Matrix ist?
Hallo,
ja, die Matrix bzgl [mm] A=(v_1, v_2, v_3).
[/mm]
>
> Weiter ist
>
> [mm]id_V(v_1-v_2)=1*v_1-1*v_2+0*v_3[/mm]
> [mm]id_V(v_1+v_2)=1*v_1+1*v_2+0*v_3[/mm]
> [mm]id_V(v_3)=0*v_1+0*v_2+1*v_3[/mm]
>
> also [mm]M_A^B(id_V)=\pmat{ 1&1&0 \\
-1&1&0 \\
0&0&1 }[/mm] und
> damit würde ich jetzt [mm](\*)[/mm] berechnen.
>
> Alles okay so??
Ja.
LG Angela
>
> Danke schonmal und liebe Grüße,
> chesn
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