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Hi, brauche hilfe !!!
Sei (V, < , >) ein euklidischer [mm] \IR-Vektorraum [/mm] und b: V x [mm] V\to [/mm] K eine symmetrische Bilinearform. Zeige: Es ex. eine ONB von V bezüglich welcher b die darstellende Matrix diagonal ist.
Ichhabe Sätze, dass es eine diagonale symmetrische Matrix zu b gibt, wie finde ich jetzt eine etsprechende ONB ?
Ich habe diese Frage in keinen anderen Internetforum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:07 Di 14.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo segatakai!
Es sei also $b$ eine symmetrische Bilininearform auf $V$. Dann wird durch
$b(v,w) = [mm] \langle \varphi(v),w \rangle$
[/mm]
eine selbstadjungierte Abbildung [mm] $\varphi:V \to [/mm] V$ definiert. Bekanntlich gibt es aber zu jedem selbstadjungierten Endomorphismus eine Orthonormalbasis [mm] $B=(v_1,v_2,\ldots,v_m)$, [/mm] die aus lauter Eigenvektoren von [mm] $\varphi$ [/mm] besteht. Es sei [mm] $\lambda_i$ [/mm] der zu [mm] $v_i$ [/mm] gehörige Eigenwert.
Dann ist aber wegen
[mm] $b(v_i,v_j) [/mm] = [mm] \langle \varphi(v_i),v_j \rangle [/mm] = [mm] \langle \lambda_iv_i,v_j \rangle [/mm] = [mm] \lambda_i \langle v_i,v_j \rangle [/mm] =0$
für $i [mm] \ne [/mm] j$ die Basis $B$ jedenfalls eine Orthogonalbasis bezüglich $b$. Daraus folgt die Behauptung.
Viele Grüße
Julius
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