Bilinearform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 So 03.06.2007 | | Autor: | Ron85 |
Hallo Leute.
Gegeben:
F,G: [mm] \IR^{3} [/mm] x [mm] \IR^{3} [/mm] --> [mm] \IR [/mm] mit
[mm] F(x_{1},x_{2},x_{3})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}
[/mm]
[mm] G(x_{1},x_{2},x_{3})=b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}+b_{3}x_{3} [/mm]
Zeige, dass b: [mm] \IR^{3} [/mm] x [mm] \IR^{3} [/mm] --> [mm] \IR [/mm] , (x,y)--> F(x)G(y)
eine Bilinearform ist.
Das muss ich doch dann für die erste Komponente folgendermaßen durchrechnen:
b(x,y)= [mm] (a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3})*G(y)
[/mm]
bis ich auf [mm] a_{1}*b(x_{1},y)+a_{2}*b(x_{2},y)+a_{3}*b(x_{3},y)
[/mm]
komme. oder muss ich das anders durchrechnen?
Wie bestimme ich die Matrix von b bezüglich der kanonischen Basis des [mm] \IR^{3}?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 So 03.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich habe erst einmal die Defintion von Bilinearform suchen müssen. Wäre gut, wenn du so etwas immer angeben würdest.
Normal sind drei Punkte zu zeigen, ich habe diese jetzt auf zwei Punkte reduziert:
Du musst zeigen:
i) [mm] b(su+tv,w)=s\*b(u,w)+t\*(v,w)
[/mm]
ii) [mm] b(u,sv+tw)=s\*b(u,v)+t\*b(u,w)
[/mm]
> Gegeben:
>
> F,G: [mm]\IR^{3}[/mm] x [mm]\IR^{3}[/mm] --> [mm]\IR[/mm] mit
> [mm]F(x_{1},x_{2},x_{3})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}[/mm]
> [mm]G(x_{1},x_{2},x_{3})=b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}+b_{3}x_{3}[/mm]
>
> Zeige, dass b: [mm]\IR^{3}[/mm] x [mm]\IR^{3}[/mm] --> [mm]\IR[/mm] , (x,y)-->
> F(x)G(y)
>
> eine Bilinearform ist.
Ich würde wie folgt vorgehen:
[mm] b(su+tv,w)=F(su+tv)\*G(w)
[/mm]
[mm] =a_1*(su+tv)*b_1*w+a_1*(su+tv)*b_2*w+a_1*(su+tv)*b_3*w+a_2*(su+tv)*b_1*w+a_2*(su+tv)*b_2*w+a_2*(su+tv)*b_3*w +a_3*(su+tv)*b_1*w+a_3*(su+tv)*b_2*w+a_3*(su+tv)*b_3*w=...=s\*b(u,w)+t\*(v,w)
[/mm]
...:= an dieser Stelle musst du geschickt umstellen, sodass du am Ende auf die gewünschte Form kommst.
Ich hoffe, ich habe die Schlacht mit den Indizes nicht verloren und alles richtig bezeichnet.
Bei ii) kannst du analog vorgehen.
MfG
barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 So 03.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich noch einmal. Diesmal jedoch zum zweiten Teil:
> Wie bestimme ich die Matrix von b bezüglich der kanonischen
> Basis des [mm]\IR^{3}?[/mm]
Du weißt ja, das
[mm] F(x)*G(y)==a_1\cdot{}x_1\cdot{}b_1\cdot{}y_1+a_1\cdot{}x_1\cdot{}b_2\cdot{}y_2+a_1\cdot{}x_1\cdot{}b_3\cdot{}y_3+a_2\cdot{}x_2\cdot{}b_1\cdot{}y_1+a_2\cdot{}x_2\cdot{}b_2\cdot{}y_2+a_2\cdot{}x_2\cdot{}b_3\cdot{}y_3 +a_3\cdot{}x_3\cdot{}b_1\cdot{}y_1+a_3\cdot{}x_3\cdot{}b_2\cdot{}y_2+a_3\cdot{}x_3\cdot{}b_3\cdot{}y_3$
[/mm]
Und da jetzt eine Matrix bezüglich der kanonischen Basis des [mm] \IR^3 [/mm] zu bestimmen...
MfG
barsch
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