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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:24 Sa 17.06.2006 | | Autor: | vicky |
| Aufgabe | K = Körper
[mm] \alpha \in [/mm] M(n x n,K), n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \beta_{\alpha}: [/mm] M(n x n,K) x M(n x n,K) [mm] \to [/mm] K
[mm] \beta_{\alpha}(A,B) [/mm] := tr(A [mm] \alpha [/mm] B)
Zeigen Sie, dass [mm] \alpha [/mm] eine Bilinearform auf M(n x n,K) ist.
Für welche [mm] \alpha [/mm] ist die Bilinearform symmetrisch?
Für welche [mm] \alpha [/mm] ist die Bilinearform nicht ausgeartet? |
Guten Morgen zusammen,
habe hier wieder eine Aufgabe bei der ich mich irgendwie festgefahren habe und absolut nicht weiter komme. Vielleicht kann mir jemand von euch ein paar Tipps zum weiteren Vorgehen geben.
Also eine Bilinearform ist ja definiert durch:
1. [mm] \beta(v+v',w) [/mm] = [mm] \beta(v,w) [/mm] + [mm] \beta(v',w)
[/mm]
2. [mm] \beta(v,w+w') [/mm] = [mm] \beta [/mm] (v,w) + [mm] \beta [/mm] (v,w')
3. [mm] \beta(\lambda [/mm] v,w) = [mm] \lambda \beta(v,w) [/mm] = [mm] \beta [/mm] (v, [mm] \lambda [/mm] w)
Für A und B kann ich A = [mm] (a_{ij}) [/mm] und [mm] B=(b_{ij}) [/mm] schreiben.
Weiterhin weiß ich das die Spur einer Matrix die Summe ihrer Diagonalelemente ist, sprich tr A = [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{ii}
[/mm]
doch wie geht es nun weiter. Mich verwirrt ein bißchen das [mm] \alpha [/mm] zwischen tr(A [mm] \alpha [/mm] B)
Habe mich an folgendem schon versucht:
[mm] \beta_{\alpha}(a_{ij} [/mm] + [mm] a_{ij}',b_{ij}) [/mm] = [mm] tr(a_{ij} [/mm] + [mm] a_{ij}' \alpha b_{ij}) [/mm] = [mm] tr(a_{ij} \alpha b_{ij} [/mm] + [mm] a_{ij}' \alpha b_{ij}) [/mm] = [mm] tr(a_{ij} \alpha b_{ij}) +tr(a_{ij}' \alpha b_{ij}) [/mm] = [mm] \beta_{\alpha}(a_{ij},b_{ij}) [/mm] + [mm] \beta_{\alpha}(a_{ij}',b_{ij})
[/mm]
Ist das so weit richtig? Ich bin mir nicht so sicher.
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.
Gruß Vicky
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Guten Morgen!
Naja, wie im Einleitungstext schon steht, ist [mm] $\alpha$ [/mm] einfach eine Matrix, mit den Einträgen sagen wir mal [mm] $\alpha_{ij}$.
[/mm]
Das Produkt $A [mm] \alpha [/mm] B = : C$ hat dann folgende Einträge:
[mm] $c_{ij} [/mm] = [mm] \sum_{k,l=1}^n a_{ik} \alpha_{kl} b_{lj}$
[/mm]
Und die Spur und damit die Bilinearform ist daher
[mm] $\beta_\alpha(A,B) [/mm] = [mm] \sum_{i,k,l=1}^n a_{ik} \alpha_{kl} b_{li}$
[/mm]
Das ist die Definition und zu zeigen ist jetzt, dass dies linear in $A$ und $B$ ist (ist aus der Formel ziemlich ersichtlich, muss aber trotzdem gezeigt werden) und dann ist gefragt, wann das symmetrisch bzw. nicht ausgeartet ist. Insofern machen Deine Rechnungen wenig Sinn, da stehen nämlich Einträge und keine ganzen Matrizen.
Zur Symmetrie: was ändert sich, wenn man $A$ und $B$ vertauscht? Kannst Du eine hinreichende Bedingung an [mm] $\alpha$ [/mm] finden, die dafür sorgen, dass das gleiche rauskommt? Ist die Bedingung auch notwendig?
Nicht ausgeartet funktioniert ähnlich... die Form heißt ja nicht ausgeartet, wenn zu jedem $A [mm] \not= [/mm] 0$ ein $B$ existiert mit [mm] $\beta_\alpha(A,B) \not= [/mm] 0$. Das kann man umdrehen: gegeben $A$. Was muss für [mm] $\alpha$ [/mm] gelten, damit die Spur immer 0 ist, unabhängig von $B$?
Viel Erfolg!
Lars
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:26 Sa 17.06.2006 | | Autor: | vicky |
Hallo nochmal,
deine Antwort hat mich auf jeden Fall in ganzes Stück weiter gebracht. Vielen Dank schon mal dafür. Habe nun folgende Überlegung angestellt:
[mm] \beta_{\alpha} [/mm] (A+A',B) = [mm] \beta_{\alpha} [/mm] (A,B) + [mm] \beta_{\alpha} [/mm] (A',B)
tr(A+A' [mm] \alpha [/mm] B) = [mm] \summe_{i,k,t=1}^{n} (a_{ik}+a_{ik}')\alpha_{kt}b_{ti} [/mm] =...= [mm] \summe_{i,k,t=1}^{n}a_{ik}\alpha_{kt}b_{ti} [/mm] + [mm] \summe_{i,k,t=1}^{n} a_{ik}'\alpha_{kt}b_{ti} [/mm] = tr(A [mm] \alpha [/mm] B) + tr(A' [mm] \alpha [/mm] B) = [mm] \beta_{\alpha} [/mm] (A,B) + [mm] \beta_{\alpha} [/mm] (A',B).
Und ähnlich verfahre ich dann mit dem Rest der Definition?
> Zur Symmetrie: was ändert sich, wenn man [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm]
> vertauscht? Kannst Du eine hinreichende Bedingung an [mm]\alpha[/mm]
> finden, die dafür sorgen, dass das gleiche rauskommt? Ist
> die Bedingung auch notwendig?
Also tr(A [mm] \alpha [/mm] B) = tr(B [mm] \alpha [/mm] A) sprich [mm] \summe_{i,k,t=1}^{n} a_{ik}\alpha_{kt}b_{ti} [/mm] = [mm] \summe_{i,k,t=1}^{n} b_{it}\alpha_{tk}b_{ki}? [/mm] Hat das ganze mit Transponieren zu tun? Kann ich an [mm] \alpha [/mm] die Bedingung Stellen das Sie B und A transponiert? Denn [mm] a_{ij}^{T} [/mm] = [mm] a_{ji}.
[/mm]
>
> Nicht ausgeartet funktioniert ähnlich... die Form heißt ja
> nicht ausgeartet, wenn zu jedem [mm]A \not= 0[/mm] ein [mm]B[/mm] existiert
> mit [mm]\beta_\alpha(A,B) \not= 0[/mm]. Das kann man umdrehen:
> gegeben [mm]A[/mm]. Was muss für [mm]\alpha[/mm] gelten, damit die Spur immer
> 0 ist, unabhängig von [mm]B[/mm]?
Ich würde sagen [mm] \alpha [/mm] wäre die Nullmatrix??
>
> Viel Erfolg!
>
> Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Mo 19.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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