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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 Mi 07.06.2006 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | Es sei T eine quadratische [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix. Dann heißt die Summe der Diagonalelemente von T die "Spur" der Matrix T. Also
Spur(T)= [mm] \summe_{i=1}^{n} t_{ii}
[/mm]
Seien nun $A,B$ zwei [mm] $n\times [/mm] n$-Matrizen über einem Körper $K$. Zeige dass durch
[mm] $\beta(A,B):=Spur(A*B)$
[/mm]
eine symmetrische Bilinearform definiert wird. |
Kann mir bei dieser Aufgabe jemand helfen? (Ich habe sie nirgendwo sonst gestellt.)
Muss man nicht unter anderem zeigen, dass wegen der Symmetrie [mm] $\beta(A,B)=\beta(B,A)$ [/mm] ist, also dass $Spur(A*B)=Spur(B*A)$ ist? Das kommt aber doch so allgemein nicht hin, weil die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, also weil meistens [mm] $A*B\neq [/mm] B*A$ gilt.
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Hallo MasterEd,
das ist richtig, Symmetrie bedeutet [mm] \beta(A,B)=\beta(B,A). [/mm] Und auch richtig, dass [mm] aB\neq [/mm] BA - in den meisten Fällen. Aber darum geht es ja auch nicht - es geht nur um Spur(AB)!!! Versuch es mal: schreibe [mm] A=(a_{ij}), B=(b_{ij}). [/mm] Und dann versuch doch mal die Diagonalelemente von AB und von BA aufzuschreiben.
Dann hast du Symmetrie gezeigt, aber noch nicht, dass es eine Bilinearform ist. Die Definition solltest du irgendwo in denen Aufzeichnungen finden können:
a) [mm] \beta(u+v,w)=\beta(u,w)+\beta(v,w)
[/mm]
b) [mm] \beta(u,v+w)=\beta(u,v)+\beta(u,w)
[/mm]
c) [mm] \beta(\lambda u,v)=\lambda\beta(u,v)=\beta(u,\lambda [/mm] v)
Das kannst du einfach nachrechnen, einfach nur einsetzen.
Ich hoffe, dass dir das weiter hilft. Falls du trotzdem noch Probleme haben solltest, frag ruhig nochmal.
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