Bilineare Abbildung tr beweis < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Mi 04.05.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Man zeige, dass $tr(AB)$ eine bilineare Abbildung $VxV [mm] \rightarrow \IR$ [/mm] definiert, wobei [mm] $V=M_{\IR}(2)$ [/mm] |
Hallo,
tr erfüllt die Definition:
$i : tr(A+B,C) = tr(A+B)tr(C)= tr(A)tr(C)+tr(B)tr(C)$
$ii: tr(A,C+D) = tr(A)tr(C+D)= tr(A)tr(C) + tr(A)tr(D)$
$iii: [mm] tr(\lambda [/mm] A,C) = [mm] tr(\lambda [/mm] A ) tr(C) = [mm] \lambda [/mm] tr(A)tr(C) = [mm] tr(A)tr(\lambda [/mm] C) = [mm] tr(A,\lambda [/mm] C)$
und damit ist die Bilinearität erfüllt.
Ist das so OK und fehlt noch etwas?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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> Man zeige, dass [mm]tr(AB)[/mm] eine bilineare Abbildung [mm]VxV \rightarrow \IR[/mm]
> definiert, wobei [mm]V=M_{\IR}(2)[/mm]
> Hallo,
>
> tr erfüllt die Definition:
Was ist tr?
Vielleicht $tr: [mm] V\times [/mm] V [mm] \to \IR,\quad (A,B)\mapsto [/mm] spur(A^TB)$?
Wenn ja dann musst du das auch mit hinschreiben.
>
> [mm]i : tr(A+B,C) = tr(A+B)tr(C)= tr(A)tr(C)+tr(B)tr(C)[/mm]
> [mm]ii: tr(A,C+D) = tr(A)tr(C+D)= tr(A)tr(C) + tr(A)tr(D)[/mm]
>
> [mm]iii: tr(\lambda A,C) = tr(\lambda A ) tr(C) = \lambda tr(A)tr(C) = tr(A)tr(\lambda C) = tr(A,\lambda C)[/mm]
>
> und damit ist die Bilinearität erfüllt.
Wo ist der BEWEIS?
> Ist das so OK und fehlt noch etwas?
Der BEWEIS?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Mi 04.05.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> was ist tr
tr ist die Spur.
> Wo ist der Beweis
Es sind 3 Axiome zu erfüllen und das habe ich bei i-iii versucht.
> gruB
Danke
Gruss
kushkush
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> Hallo,
>
>
> > was ist tr
>
> tr ist die Spur.
Was ist denn Bitteschön
tr(A,B) ???
DIE SPUR ist normalerweise $tr: [mm] M_n(K) \to [/mm] K, [mm] \; A\mapsto [/mm] tr(A)$
Da ist nur ein Parameter.
Sie ist also linear.
>
>
>
> > Wo ist der Beweis
>
> Es sind 3 Axiome zu erfüllen und das habe ich bei i-iii
> versucht.
>
>
>
> > gruB
>
> Danke
>
>
>
> Gruss
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Mi 04.05.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> was ist
Das Komma stammt von mir und ist nicht in der Aufgabenstellung enthalten.
> Da ist nur ein Parameter, linear
OK. Dann zeige ich dass es sich um eine bilineare Form handelt:
$<a,b> := tr(AB)$
$a,b,x [mm] \in M_{\IR}(2) [/mm] \ \ l [mm] \in \IR$
[/mm]
$<a+lb,x> = tr((A+lB)X)=tr(AX+lBX)=tr(AX)+ltr(BX)=<a,x>+l<b,x>$
und es gilt:
$<a,b>=tr(AB)=tr(BA)=<b,a>$
Also ist es eine symmetrische Bilinearform.
Aber es war zu zeigen dass es eine bilineare Abbildung ist!?
> LG
Danke
Gruss
kushkush
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> Hallo,
>
>
> > was ist
>
> Das Komma stammt von mir und ist nicht in der
> Aufgabenstellung enthalten.
>
>
> > Da ist nur ein Parameter, linear
>
> OK. Dann zeige ich dass es sich um eine bilineare Form
> handelt:
>
> [mm] := tr(AB)[/mm]
AHHHHHH!
>
> [mm]a,b,x \in M_{\IR}(2) \ \ l \in \IR[/mm]
>
> [mm] = tr((A+lB)X)=tr(AX+lBX)=tr(AX)+ltr(BX)=+l[/mm]
passt!
>
> und es gilt:
>
> [mm]=tr(AB)=tr(BA)=[/mm]
>
> Also ist es eine symmetrische Bilinearform.
>
> Aber es war zu zeigen dass es eine bilineare Abbildung
> ist!?
Stimmt die Bilinearform ist ein Spezialfall der bilineare Abbildung.
Der einzige Unterschied ist doch nur der Bildraum.
Die Argumente sind jedoch die gleichen.
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> > LG
>
> Danke
>
>
>
> Gruss
> kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:15 Mi 04.05.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo!
> passt
Danke!
Gruss
kushkush
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