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| Aufgabe | Ermitteln Sie die bildungsvorschrift zu folgender Zahlenfolge:
0, 1, 1.5, 1.75, 1.875 |
Ich komme einfach nicht auf die Lösung. We kann mir bitte helfen?
eigentlich dachte ich erst [mm] a_n_-_1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
aber das stimmt ja bei 5 nicht mehr.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Moin,
schreibe die Folge mal in Brüchen:
$\ [mm] \frac{0}{q}, [/mm] \ [mm] \frac{q'}{q'}, [/mm] \ [mm] \frac{3}{2}, [/mm] \ [mm] \frac{7}{4}, [/mm] \ [mm] \frac{15}{8} [/mm] $ wobei $\ q, q' [mm] \in \IQ [/mm] $ und $\ q [mm] \not=0 [/mm] $
vom 5. Glied deduktiv ausgehend, stellt man fest, dass die Nenner sich jeweils halbieren und die Differenz zwischen den Brüchen entspricht immer dem Nenner des Folgeglieds.
So findet man $\ q' = 1 $ und $\ q = [mm] \frac{1}{2} [/mm] $
Die Folge lautet in Bruchdarstellung also
$\ [mm] \frac{0}{\frac{1}{2}}, [/mm] \ [mm] \frac{1}{1}, [/mm] \ [mm] \frac{3}{2}, [/mm] \ [mm] \frac{7}{4}, [/mm] \ [mm] \frac{15}{8} [/mm] $
Es fällt ausserdem auf, dass jeder Nenner als Zweierpotenz darstellbar ist:
$\ [mm] \frac{0}{2^{-1}}, [/mm] \ [mm] \frac{1}{2^0}, [/mm] \ [mm] \frac{3}{2^1}, [/mm] \ [mm] \frac{7}{2^2}, [/mm] \ [mm] \frac{15}{2^3} [/mm] $
Für den Nenner gilt also $\ [mm] (b_n) [/mm] = [mm] 2^{n} [/mm] $ mit $\ n [mm] \in \{-1,0,1,2,3 \}$
[/mm]
Da sich die Zähler immer um den Nenner des Folgeglieds unterscheiden, ergibt sich für die Bildungsvorschrift:
$\ [mm] (a_n) [/mm] = [mm] \frac{2*2^{n}-1}{2^n} [/mm] = [mm] \frac{2^{n+1}-1}{2^n} [/mm] $ mit $\ n [mm] \in \{-1,0,1,2,3 \}$
[/mm]
Viele Grüße
ChopSuey
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Oh super. jetzt fällts mir auch auf! Vielen Dank, besonders für die Tipps zur Lösungsfindung!
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