Bildung von Stammfunktionen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Do 02.02.2012 | | Autor: | caro22 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie zu f(x)=4/((2x-1)³) diejenige Stammfunktion, deren Graph durch den Punkt Q(1;3) geht. |
Ich habe diese Aufgabe als Übungsaufgabe berechnet und besitze auch die Lösung dazu: F(x)= 1/((2x-1)²) +4.
Mein Problem ist aber, dass ich den im Buch angegebenen Lösungsweg nicht nachvollziehen kann und auch bei meiner Rechnung nicht verstehe, was ich falsch mache.
So sieht mein Lösungsweg aus:
f(x)=4/(8x³-12x²+6x-1)
Dann habe ich mir überlegt, dass man in diesem Fall die Kettenregel "rückwärts" anwenden muss.
Kettenregel allgemein: (u(v(x)))'=u'(v(x))*v'(x)
u'(v(x))=1/(8x³-12x²+6x-1)
u'(x)=1/x
v(x)=8x³-12x²+6x-1
Allerdings komme ich dann auf v'(x)=24x²-24x+6, aber in der Gleichung von f(x) kann v'(x) ja eigentlich nur 4 werden?!
In der Lösung ist von linearer Substitution die Rede, die als "Äußere Stammfunktion geteilt durch innere Ableitung" erklärt ist. Das haben wir aber im Unterricht soweit ich weiß nie gemacht...
Kann mir das bitte jemand an dieser Aufgabe erklären bzw. mir sagen, wie man auch mit meinem Ansatz auf die Lösung kommt?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo caro22 und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Bestimmen Sie zu f(x)=4/((2x-1)³) diejenige Stammfunktion,
> deren Graph durch den Punkt Q(1;3) geht.
> Ich habe diese Aufgabe als Übungsaufgabe berechnet und
> besitze auch die Lösung dazu: F(x)= 1/((2x-1)²) +4.
> Mein Problem ist aber, dass ich den im Buch angegebenen
> Lösungsweg nicht nachvollziehen kann und auch bei meiner
> Rechnung nicht verstehe, was ich falsch mache.
> So sieht mein Lösungsweg aus:
> f(x)=4/(8x³-12x²+6x-1)
Oh, das sieht ja schlimmer aus als vorher ...
> Dann habe ich mir überlegt, dass man in diesem Fall die
> Kettenregel "rückwärts" anwenden muss.
> Kettenregel allgemein: (u(v(x)))'=u'(v(x))*v'(x)
> u'(v(x))=1/(8x³-12x²+6x-1)
> u'(x)=1/x
> v(x)=8x³-12x²+6x-1
> Allerdings komme ich dann auf v'(x)=24x²-24x+6, aber in
> der Gleichung von f(x) kann v'(x) ja eigentlich nur 4
> werden?!
> In der Lösung ist von linearer Substitution die Rede, die
> als "Äußere Stammfunktion geteilt durch innere Ableitung"
> erklärt ist. Das haben wir aber im Unterricht soweit ich
> weiß nie gemacht...
Aber das Verfahren der Integration per Substitution kennst du?!
Der Clou ist, dass man leicht eine Stammfunktion von [mm]\frac{1}{u^3 }[/mm] mithilfe der Potenzregel für das Integrieren bestimmen kann (also [mm]\int{u^{-3} \ du}[/mm] berechnen kann):
[mm]\int{z^r \ dz}=\frac{1}{r+1}\cdot{}z^{r+1} (+C)[/mm] für alle [mm]r\neq -1[/mm]
Für [mm]r=-1[/mm] hast du den "Sonderfall" [mm]\int{\frac{1}{z} \ dz}=\ln(|z|) (+C)[/mm]
> Kann mir das bitte jemand an dieser Aufgabe erklären
Jo, es wird die lineare Substitution [mm]\red{u=u(x):=2x-1}[/mm] gemacht.
Damit ist [mm]u'(x)=\frac{du}{dx}=2[/mm], also [mm]\blue{dx=\frac{1}{2} \ du}[/mm]
Damit wird aus [mm]\int{\frac{1}{(\red{2x-1})^3} \ \blue{dx}}[/mm] dann [mm]\int{\frac{1}{\red{u}^3} \cdot{} \blue{\frac{1}{2} \ du}}=\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{1}{u^3} \ du}[/mm]
Und das kannst du leicht berechnen.
Am Ende musst du alles, was da in u steht, wieder in x ausdrücken (resubstituieren)
Die Integrationskonstante [mm]C[/mm] wählst du dann so, dass die geforderte Bedingung aus der Aufgabenstellung erfüllt ist.
> bzw.
> mir sagen, wie man auch mit meinem Ansatz auf die Lösung
> kommt?
> Danke!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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