Bilder der Basisvektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] f(b_1):=0, f(b_2):= 2b_2, f(b_3):-= b_4, f(b_4) [/mm] := [mm] 6b_2-b_4 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
B = [mm] (b_1,...,b_4) [/mm] Basis von V.
Bilder der Basisvektoren siehe in Aufgabenstellung.
Jetzt soll ich Eigenwerte ermitteln.
Kann mir jemand helfen, wie ich die Bilder der Basisvektoren in einer Matrix darstellen kann?
Danke,
pippilangstrumpf
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:27 Fr 15.05.2009 | | Autor: | pelzig |
In der k-ten Spalte stehen die Koordinaten von [mm] $f(b_k)$. [/mm] Zum Beispiel für k=2: [mm] f(b_2)=2b_2, [/mm] in Koordinaten: [mm] $$f(b_2)=\vektor{0\\2\\0\\0}$$ [/mm] dies ist die zweite Spalte der Darstellungsmatrix von f. Zwei Eigenwerte kennst du schon, nämlich null und zwei.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
Danke!
Ich war mir nur nicht ganz sicher, ob ich [mm] f(b_1) [/mm] = 0 schreiben kann als den Nullvektor.
Bei [mm] f(b_3) [/mm] habe ich dann also an der dritten Stelle eine 1 (das entspricht meiner 3. Spalte und bei [mm] f(b_4) [/mm] habe ich dann (0,6,0,-1) als Vektor.
Liege ich dann richtig?
Kann ich sagen, dass die Null ein Eigenwert ist?
Ist ein Nullvektor auch ein Eigenvektor?
DANKE.
|
|
|
| |
|
Hallo Alexandra,
dass 0 ein Eigenwert sein kann (und hier ist) hast du ja schon in der ersten Antwort gelesen.
Der Nullvektor ist allerdings (nach meiner Definition) kein Eigenvektor, denn es muss ja gelten [mm] A\vec{v} [/mm] = [mm] a*\vec{v}. [/mm] Wenn A nun eine Matrix ist (also eine lineare Abbildung), wird der Nullvektor immer auf den Nullvektor abgebildet. Gleichzeitig ist das Produkt des Nullvektors mit irgendeiner Zahl auch wieder der Nullvektor. Fazit: Wenn du den Nullvektor als Eigenvektor zulässt, dann ist JEDE Zahl ein Eigenwert, denn [mm] A\vec{0} [/mm] = [mm] a*\vec{0} [/mm] gilt für alle Zahlen a [mm] \in \IR. [/mm] Deswegen halte ich es nicht für sinnvoll - kann aber nicht ausschließen, dass andere Leute das anders definieren.
Wenn du 0 als Eigenwert heraus bekommst, bedeutet das im Gegenteil, dass es einen Vektor [mm] \vec{v} \ne \vec{0} [/mm] gibt, für den gilt A [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vec{0}. [/mm] Für den Nullvektor weißt du ja ohnehin, dass er wieder auf sich selbst abgebildet wird. Der Eigenvektor zu [mm] \vec{0} [/mm] ist also nicht der Nullvektor.
Gruß,
weightgainer
|
|
|
| |
|
Danke.
Dann kann ich jetzt die restlichen EW berechnen und daraus folglich auch die Eigenvektoren.
Weiter ist zu zeigen, dass f diagonalisierbar ist. Wie ich das mache, ist mir auch klar.
Jetzt ist noch folgender Schritt unklar...
Basis von V bestimmen ( bzgl. dieser Basis soll f durch eine Diagonalmatrix beschrieben werden).
Heißt dass, ich muss jetzt die Eigenvektoren berechnen, dann prüfen, ob sie lin. unabh. sind sprich eine Basis bilden?
Was soll ich mit der Diagonalmatrix anfangen?
Bzw. wie kriege ich eine Diagonalmatrix?
DANKE.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Fr 15.05.2009 | | Autor: | pelzig |
> Heißt dass, ich muss jetzt die Eigenvektoren berechnen,
> dann prüfen, ob sie lin. unabh. sind sprich eine Basis
> bilden?
Es gibt nicht die Eigenvektoren. Zum Diagonalisieren musst du eine (irgendeine) Basis aus Eigenvektoren finden.
> Was soll ich mit der Diagonalmatrix anfangen?
Naja das musst du schon selber wissen...
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
Wenn ich irgendeine Basis finden soll, dann nehme ich doch am besten gleich die kanonische Basis [mm] e_1, e_2, e_3, e_4 [/mm] (wegen dim 4). Kann ich das machen?
Dann weiß ich auch, dass meine Matrix diagonalisierbar ist.
Nur, wie verfahre ich dann weiter?
Wir haben folgende Formel notiert:
A^~=S^(-1)*A*S
Um A^~ zu bestimmen brauche ich S. Ist S meine Basis (hier die Eigenvektoren)?
A gehe ich davon aus, ist dann die Matrix, welche durch die lin. Abb. gegeben ist.
Liege ich richtig?
Besten Dank.
|
|
|
| |
|
Hallo pippilangstrumpf,
> Wenn ich irgendeine Basis finden soll, dann nehme ich doch
> am besten gleich die kanonische Basis [mm]e_1, e_2, e_3, e_4[/mm]
> (wegen dim 4). Kann ich das machen?
Nun ja, wenn Dir diese Vektoren den Gefallen tun, jeweils Eigenvektor zu einem Eigenwert zu sein, dann schon  . Das wäre zum Beispiel der Fall, wenn Du eine Diagonalmatrix hast.
Aber Du kennst auch schon zwei Eigenvektoren, nämlich den zum Eigenwert 2 bzw. -1.
>
> Dann weiß ich auch, dass meine Matrix diagonalisierbar
> ist.
>
> Nur, wie verfahre ich dann weiter?
> Wir haben folgende Formel notiert:
> A^~=S^(-1)*A*S
Das hilft hier glaub ich nicht weiter. Auch wenn ich den Zusammenhang nicht kenne, sieht das eher nach einer formalen Beschreibung aus, wie eine zu [mm]A[/mm] ähnliche Matrix aussieht.
> Um A^~ zu bestimmen brauche ich S. Ist S meine Basis (hier
> die Eigenvektoren)?
Wenn an Position [mm](k,k)[/mm] der [mm]k[/mm]-te Eigenwert steht, muss auch in der Matrix S in Spalte k der zu diesem Element gehörige Eigenvektor stehen.
Gruß
zahlenspieler
|
|
|
|
