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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Mi 26.05.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 3. [mm] $f(z)=\frac{z-i}{z+i}$
[/mm]
Welches ist das Bild des Einheitskreises?
Welches ist das Bild der reellen Achse? |
Hallo,
Also der Einheitskreis ist ja definiert als Kreis mit Mittelpunkt 0 und Radius 1
also
$|z-0|=1$ bzw. [mm] $(z-0)(\overline{z}-0)=1^{2}$ [/mm] also [mm] $z\overline{z}-1=0$ [/mm]
Die Gleichung der reellen Achse wäre ja $y=0$.
Jetzt habe ich zuerst die Umkehrfunktion gemacht, aber schon hier scheint es nicht zu klappen:
$w= [mm] \frac{z+i}{z-i}$
[/mm]
$(z-i)w=(z+i)$
Gibt es noch einen anderen, einfacheren Weg, wie man das Bild des Einheitskreises und der Gerade berechnen kann, der ohne die Umkehrfunktion auskommt?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Mi 26.05.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
deine Idee ist schon nicht schlecht. Betrachte doch mal das komplex-konjugierte dazu. Was für eine Beziehung besteht dann zwischen w und [mm] \overline{w} [/mm] ?
Was kannst du direkt aus der Gleichung schließen, denke an das argument einer komplexen Zahl...
Ich habe gerade nicht genug zeit um das weiter auszuführen, deswegen hab ich das mal als mitteilung geschrieben.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Mi 26.05.2010 | | Autor: | kushkush |
Das konjugiert Komplexe von w ist:
[mm] $\overline{w}= \frac{\overline{z}-i}{\overline{z}+i}$
[/mm]
dass z und [mm] \overline{z} [/mm] nicht i oder -i sein dürfen weils sonst 0 gibt im Nenner.
Ist es das, was gemeint ist ?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Mi 26.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein
sieh den anderen post
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Mi 26.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich seh nicht, warum man die Unkehrfkt braucht?
alle Punkte auf dem Einheitskreis werden beschrieben durch [mm] z=e^{i*t} [/mm] oder z=cost+isint
setz das ein und bestimme was das für eine Menge ist.
ebenso z=x (was iat dann |f(z)|?)
Was du über z=-i weisst: es wird nach [mm] \infty [/mm] abgebildet, z=i nach 0 , z=1nach -2i das sind 3 Punkte auf dem Einheitskreis.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Mi 26.05.2010 | | Autor: | kushkush |
hallo leduart,
wenn ich deinen Ansatz einsetze,
dann erhalte ich ja [mm] $w=\frac{cis(t)-i}{cis(t)+i}$... [/mm] ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Mi 26.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist cis?
und warum kannst du nicht rausfinden , was das für ne Menge ist?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Mi 26.05.2010 | | Autor: | kushkush |
$cos(t)+isin(t)=cis(t)$
Ich kanns nicht berechnen weil ich nicht weiss wie man die Bilder berechnet...
In meiner Lösung steht zum Beispiel für die Bilder:
Bild von a) die imaginäre Achse: $z+ [mm] \overline{z} [/mm] = 0$:
Bild von b) der Einheitskreis: [mm] $z\overline{z} [/mm] = 1$
Wie komme ich zu diesen Gleichungen, durch deinen Ansatz?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Mi 26.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du das schon weisst, warum bildest du nicht einfach in a $ f(z)+ [mm] \overline{f(z)} [/mm] = 0 $
in b hat ich ja schon gesagt bilde |f(z)|
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Mi 26.05.2010 | | Autor: | kushkush |
Mit "meine Lösungen" meine ich die Lösungen vom Prof. und nicht "meine selbst herausgefundenen", das ist wohl falsch rübergekommen (?).
Ich Frage weil ich einen allgemeinen Weg erfahren möchte, wie man das machen kann. Diese Aufgabe soll halt ein Beispiel dazu sein...
Gibt es eine Methode die immer funktioniert, und mit der man die Gleichungen von meinen Lösungen erhält?
So wie beim berechnen des Fixpunktes halt, wo man z=f(z) setzen kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Mi 26.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich glaub nicht, dass es ne allgemeine Methode gibt.
aber man kann stückweise vorgehen:
z.Bsp. 1/z bildet Kreise um 0 in Kreise um 0 ab, geraden durch 0 in Geraden durch 0 und alle anderen Geraden und kreise in Kreise. Addition einer komplexen Zahl verschiebt. usw.
dann setzt man die Abbildungen aneinander.
hier weisst du also wieder dass aus Geraden und Kreisen wieder Gerade und kreise werden. da z=-i nach unendlich geht, muss der Kreis in ne Gerade übergehen. in welche ist dann einfach, in dem du irgend 2 Punkte auf dem Kreis abbildest.
Die relle Achse kannst du wieder 3 punkte abbilden und siehst sie liegen auf den einheitskreis, oder ich fin, man sieht direkt, dass (x-i)/(x+i) denselben Betrag in Z und N haben, der Betrag also 1 ist.
sonst bleibt dir noch immer z=x+iy zu setzen und f(z)=w=u+iv
und zu sehen welche Menge w ist.
ich find das Zusammensetzen am einfachsten.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 Mi 26.05.2010 | | Autor: | kushkush |
Ok,
Riesendankeschön leduart und Montblanc!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Mi 26.05.2010 | | Autor: | MontBlanc |
> [mm]cos(t)+isin(t)=cis(t)[/mm]
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> Ich kanns nicht berechnen weil ich nicht weiss wie man die
> Bilder berechnet...
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> In meiner Lösung steht zum Beispiel für die Bilder:
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> Bild von a) die imaginäre Achse: [mm]z+ \overline{z} = 0[/mm]:
Das war genau der Punkt auf den ich hinauswollte, als ich dir sagte, dass du dir das komplex-konjugierte ansehen sollst. es gilt nämlich [mm] \overline{w}=-w \Rightarrow w+\overline{w}=0 [/mm] ...
> Bild von b) der Einheitskreis: [mm]z\overline{z} = 1[/mm]
> Wie komme ich zu diesen Gleichungen, durch deinen Ansatz?
>
> Danke
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