Bild und Urbild von Polynomabb < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:31 Do 10.11.2016 | | Autor: | mensch |
| Aufgabe | Es sei f : V [mm] \to [/mm] W eine Polynomabbildung zwischen den affinen Varietäten V und W.
(a) Zeigen Sie, dass das Urbild f^(-1)(U) einer Untervarietät U [mm] \subset [/mm] W eine Untervarietät
von V ist. (Dies zeigt, dass alle Polynomabbildungen stetig bezüglich der Zariski-Topologie sind.)
(b) Zeigen Sie, dass das Bild f(V) im Allgemeinen keine Untervarietät von W ist.
Tipp: Bilden Sie die Hyperbel (V(XY-1)) aus Aufgabe 12 auf geeignete Weise ab. |
Hallo:)
ich habe diese Aufgabe zu bearbeiten und komme auf keinen Ansatz.
Könnte mir vielleicht irgendjemand helfen und einen kleinen Tipp geben, wie ich vorgehen muss?
Hoffentlich ist noch jemand von euch wach:)
Dankeschön schonmal!
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:43 Do 10.11.2016 | | Autor: | hippias |
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Zuerst sollten die Begriffe geklärt werden. Daher teile mit, wie Varietäten, Untervarietäte und Polynomabbildungen definiert sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Do 10.11.2016 | | Autor: | mensch |
Varietät ist wie folgt definiert:
Eine Teilmenge X [mm] \subset [/mm] A heißt affine Varietät, falls eine Teilmenge T [mm] \subset A^n [/mm] existiert mit X = V(T) = [mm] \left\{\ p\in\A^n | f(p) = 0 fuer alle f \in\ T \right\}\
[/mm]
Untervarietät:
EIn Untervarietät U ist eine affine Varietät mit [mm] U\subset [/mm] V mit V ebenfalls affiner Varietät.
Polynomabbildung:
Seien [mm] V\subset A^n, W\subset A^m [/mm] affine Varietäten. f: V [mm] \to [/mm] W heißt Polynomabbildung, falls es Polynome [mm] F_1,...F_m \in\ K[x_1,...,x_n] [/mm] gibt mit
f(p) = [mm] (F_1(p),...,F_m(p)) [/mm] für alle [mm] p\in\ [/mm] V>
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> Zuerst sollten die Begriffe geklärt werden. Daher teile
> mit, wie Varietäten, Untervarietäte und
> Polynomabbildungen definiert sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Do 10.11.2016 | | Autor: | hippias |
Da Du Dich mit algebraischer Geometrie beschäftigst, kannst Du ja kein blutiger Anfänger mehr sein.
Seien also $W= V(T)$ und [mm] $p_{i}$ [/mm] ein Polynom mit [mm] $f(x)_{i}= p_{i}(x)$ [/mm] für alle $x$. Überlege Dir, dass [mm] $y\in f^{-1}(W)$ [/mm] für alle [mm] $t\in [/mm] T$ die Gleichung [mm] $t(p_{1}(y),\ldots,p_{n}(y))=0$ [/mm] erfüllt.
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