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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Di 29.08.2006 | | Autor: | sonne83 |
Hallo,
kann man den Kokern eines Modul-Homomorphismus [mm]f:M\rightarrow N[/mm] als Unterraum von N auffassen?
Genauer: gilt N=im(f)+cok(f)???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:03 Di 29.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> kann man den Kokern eines Modul-Homomorphismus
> [mm]f:M\rightarrow N[/mm] als Unterraum von N auffassen?
> Genauer: gilt N=im(f)+cok(f)???
Im Allgemeinen geht das nicht, selbst wenn $N$ und $M$ frei sind: Nimm $f : [mm] \IZ \to \IZ$, [/mm] $x [mm] \mapsto [/mm] 2 x$. Dann ist $im(f) = 2 [mm] \IZ$ [/mm] und somit $coker(f) = [mm] \IZ/2\IZ$. [/mm] Aber [mm] $\IZ/2\IZ$ [/mm] kann nicht als Untergruppe von [mm] $\IZ$ [/mm] aufgefasst werden.
Wenn der Ring ein Koerper ist, also alle Moduln Vektorraeume sind, dann kannst du $coker(f)$ als Unterraum von $N$ auffassen -- allerdings nicht auf kanonische Weise! Es geht halt nur, weil [mm] $\dim [/mm] coker(f) [mm] \le \dim [/mm] N$ ist...
LG Felix
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