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Forum "Lineare Abbildungen" - Bild finden/In-&Surjektivität
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Bild finden/In-&Surjektivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:23 Mi 21.01.2009
Autor: rebell-der-sonne

Aufgabe 1
a) Es sei [mm] \phi:\IR^2 \to \IR^2 [/mm] eine lineare Abbildung. Finden Sie das Bild einer Geraden unter [mm] \phi. [/mm]

b) Bestimmen Sie das Bild des Einheitskreises [mm] x_{1}^2+x_{2}^2=1 [/mm] unter der linearen Abbildung [mm] \phi\vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{3x_{1} \\ 2x_{2}}. [/mm]

Aufgabe 2
Es seien V und W zwei endlichdimensionale K-Vektorräume. Beweisen Sie:
a) [mm] dim_{K}V [/mm] < [mm] dim_{K}W \gdw [/mm] Es gibt keine lineare Abbildung [mm] \phi: [/mm] V [mm] \to [/mm] W, die surjektiv ist.
b) [mm] dim_{K}V [/mm] > [mm] dim_{K}W \gdw [/mm] Es gibt keine lineare Abbildung [mm] \phi: [/mm] V [mm] \to [/mm] W, die injektiv ist.

Hallo!

ad 1)
a) Was ist das Bild einer Geraden "unter" [mm] \phi? [/mm] Heißt das, alle Vektoren aus [mm] \IR^2, [/mm] mit denen ich mittels [mm] \phi [/mm] eine Gerade erhalte? Wie finde ich das Bild, wenn keine Abbildung gegeben ist?
b) Ich suche das Bild des Einheitskreises unter [mm] \phi. [/mm] Das heißt doch, wenn ich einsetzte, dass ich alle Vektoren finden muss, für die gilt:
[mm] (3x_{1})^2+(2x_{2})^2=1 [/mm]
Wie finde ich die?

ad 2) Von der Logik her, sind die Aussagen klar, nur, wie beweise ich die Aussagen?
a) Da würd ich sagen, da [mm] Rang\phi \leq dim_{K} [/mm] V und da [mm] dim_{K}V [/mm] < [mm] dim_{K}W [/mm] folgt, dass [mm] Rang\phi [/mm] < [mm] dim_{K}W [/mm] und deshalb: [mm] \phi [/mm] ist nicht surjektiv.
und die andere Richtung:
[mm] \phi [/mm] ist nicht surjektiv, daraus folgt, dass [mm] Rang\phi \not= dim_{K}W [/mm]
und weiter?
b) müsste dann ähnlich gehen...

Vielen Dank im Voraus,
Rebell der Sonne

        
Bezug
Bild finden/In-&Surjektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:41 Do 22.01.2009
Autor: fred97


> a) Es sei [mm]\phi:\IR^2 \to \IR^2[/mm] eine lineare Abbildung.
> Finden Sie das Bild einer Geraden unter [mm]\phi.[/mm]
>  
> b) Bestimmen Sie das Bild des Einheitskreises
> [mm]x_{1}^2+x_{2}^2=1[/mm] unter der linearen Abbildung
> [mm]\phi\vektor{x_{1} \\ x_{2}}[/mm] = [mm]\vektor{3x_{1} \\ 2x_{2}}.[/mm]
>  
> Es seien V und W zwei endlichdimensionale K-Vektorräume.
> Beweisen Sie:
>  a) [mm]dim_{K}V[/mm] < [mm]dim_{K}W \gdw[/mm] Es gibt keine lineare
> Abbildung [mm]\phi:[/mm] V [mm]\to[/mm] W, die surjektiv ist.
>  b) [mm]dim_{K}V[/mm] > [mm]dim_{K}W \gdw[/mm] Es gibt keine lineare

> Abbildung [mm]\phi:[/mm] V [mm]\to[/mm] W, die injektiv ist.
>  Hallo!
>  
> ad 1)
>  a) Was ist das Bild einer Geraden "unter" [mm]\phi?[/mm] Heißt das,
> alle Vektoren aus [mm]\IR^2,[/mm] mit denen ich mittels [mm]\phi[/mm] eine
> Gerade erhalte? Wie finde ich das Bild, wenn keine
> Abbildung gegeben ist?


Hallo,

Eine Gerade im [mm] \IR^2 [/mm] ist gegeben durch

      $x = a+tb$ mit  Aufpunkt a [mm] \in \IR^2 [/mm] und Richtungsvektor  b [mm] \in \IR^2 [/mm]  (t [mm] \in \IR) [/mm]

Da [mm] \phi [/mm] linear ist, folgt:

    [mm] $\phi [/mm] (x) =  [mm] \phi [/mm] (a) + t  [mm] \phi [/mm] (b)$


Also ist das Bild der Geraden unter $ [mm] \phi [/mm] $  die Gerade mit Aufpunkt [mm] \phi [/mm] (a) und Richtungsvektor [mm] \phi [/mm] (b)






>  b) Ich suche das Bild des Einheitskreises unter [mm]\phi.[/mm] Das
> heißt doch, wenn ich einsetzte, dass ich alle Vektoren
> finden muss, für die gilt:
>  [mm](3x_{1})^2+(2x_{2})^2=1[/mm]
>  Wie finde ich die?


Hier eignen sich Polarkoordinaten: [mm] x_1= [/mm] cost, [mm] x_2 [/mm] = sint

Dann ist $ [mm] \phi\vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{3cost \\ 2sint}. [/mm] $

Setze [mm] y_1= [/mm] 3cost, [mm] y_2 [/mm] = 2sint, dann gilt: [mm] \bruch{y_1^2}{9}+\bruch{y_2^2}{4} [/mm] = 1


Das Bild des Einheitskreises unter $ [mm] \phi [/mm] $ ist also eine Ellipse.



FRED




>  
> ad 2) Von der Logik her, sind die Aussagen klar, nur, wie
> beweise ich die Aussagen?
>  a) Da würd ich sagen, da [mm]Rang\phi \leq dim_{K}[/mm] V und da
> [mm]dim_{K}V[/mm] < [mm]dim_{K}W[/mm] folgt, dass [mm]Rang\phi[/mm] < [mm]dim_{K}W[/mm] und
> deshalb: [mm]\phi[/mm] ist nicht surjektiv.
>  und die andere Richtung:
>  [mm]\phi[/mm] ist nicht surjektiv, daraus folgt, dass [mm]Rang\phi \not= dim_{K}W[/mm]
> und weiter?
>  b) müsste dann ähnlich gehen...
>  
> Vielen Dank im Voraus,
>  Rebell der Sonne


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